第3模块 第12讲 二次函数的图象和性质-【夺冠百分百】2024河北中考冲刺数学精讲册

第12讲二次函数的图象和性质 河北中考，考点梳理 考点一、二次函数的概念 1.形如y=ax2十bx十c(a,b,c为常数，a≠0)的函数叫做二次函数，其中x是自变量. 失分警示：利用二次函数的定义解题时，尤其是含有字母系数的函数，应特别留意二次项的 系数a是否为0. 2.二次函数解析式的三种形式 (1)一般式：y=a.x2+bx十c(a,b,c是常数，a≠0) (2)顶点式：y=a(x一h)2十k(a,h,k是常数，a≠0)，其中顶点坐标为① ,对称轴为 ② ,当x=h时，y有最值为③ (3)交点式：y=a(x一x1)(x一x2)(a,x1,x2为常数，a≠0)，其中x1,x2是抛物线与x轴交点的 横坐标 考点二、二次函数y=4x十h.x十c的图象和性质☆重点 a>0 a<0 图象 开口方向 开口向上 开口向下 对称轴 直线x=④ 顶点坐标 ⑤ 最值 当x= 时y有最小值为同 2a 当x=一 时，y有最大值为⑦ 2a 在对称轴的左侧，即x< b时义 2 在对称轴的左侧，即x<一 时，y随x的 随x的增大而⑧ 增大而⑩ 增减性 在对称轴的右侧，即x>一 时y 在对称轴的右侧，即>一名时y随x的 随x的增大而⑨ 增大而① 温馨提示：讨论二次函数的增减性，一定要指明是在对称轴的左边还是右边。 42 考点三、二次函数一般式中的系数与函数图象的关系 a>0台抛物线开口向上； 决定抛物线开口方向 a<0台抛物线开口向下 b=0台对称轴为y轴： 决定抛物线对称轴的 b,a ab>0(a,b同号)台对称轴在y轴左侧左同右异零中间 位置 ab<0(a,b异号)台对称轴在y轴右侧 c=0=抛物线过点(0,0)： 决定抛物线与y轴交 c>0台抛物线与y轴交于正半轴： 点的位置 c<0台抛物线与y轴交于负半轴 考点四、二次函数y=a(x一h)十k的平移 平移前的解析式 方向和距离(m>0,n>0) 平移后 规律总结 向左平移m个单位长度 y=② x左加右减 y=a(x-h)2+ 向右平移m个单位长度 y-B k(a≠0)】 向上平移n个单位长度 y=B 表达式右侧 向下平移n个单位长度 y=5 整体上加下减 温馨提示：平移前后，抛物线的开口方向，开口大小不变，即的值不变，只是顶点坐标发生 了变化，因此可以用点的平移来代替抛物线的平移 考点五、二次函数与一元二次方程、不等式的关系 1.二次函数与一元二次方程的关系 (1)二次函数y=a.x2十b.x十c(a≠0)的图象与x轴交点的横坐标，就是一元二次方程a.x2+ bx十c=0的两个根. (2)当△=b一4ac>0时，抛物线与x轴有⑩ 个不同的公共点：当△=b2一4ac=0时，抛 物线与x轴有⑦ 个公共点：当△=b一4ac<0时，抛物线与x轴⑧ 公共点 2.二次函数与一元二次不等式的关系 设抛物线y=ax2十bx十c(a>0)与x轴交于(x1,0),(x2,0)两点(x1<x:),则不等式ax2十bx 十c>0的解集为x<x1或x>x2,不等式a.x2十bx十c<0的解集是x1<x<x2. 温馨提示：一元二次方程与一元二次不等式是二次函数y=a.x十bx十c当y=0或y>0(y <0)时的特殊情况 考点六、用待定系数法确定二次函数的解析式☆重点 1.若已知抛物线上三点坐标，可设出一般式© ,利用待定系数法求得a,b,c. 2.若已知抛物线的顶点坐标，则可设出顶点式 ,其中顶点为(h,k),对称轴为直 线x=h. 43 3.若已知抛物线与x轴的交点坐标，则可采用交点式@ ,其中与x轴的交点坐 标为(x1,0)和(x2,0). 温馨提示：用待定系数法确定二次函教解析式要先设出解析式，再列出有关系数的方程，求 出未知系数的值，最终解析式要化成一般式 自主复习 方法提炼 一、二次函数的图象和性质 二、二次函数的平移 1.(2023唐山丰润区模拟)抛物线y=(x十 3.(2023石家庄新华区模拟)把抛物线y a)2十a-1的顶点一定不在…( 一x2的图象向右平移2个单位长度，再向 A.第一象限 上平移3个单位长度，得到新的抛物线为 B.第二象限 ………………………( C.第三象限 A.y=-(x-2)2-3 D.第四象限 B.y=-(x+2)2+3 2.对于二次函数y=ax2十4x一1(a≠0)所具 C.y=-(x+2)2-3 有的性质，下列描述正确的是…( D.y=-(x-2)2+3 A.图象与x轴的交点坐标是(1,0) 4.在平面直角坐标系中，抛物线y=(x十5)(x一 B.图象开口向上 3)经变换后得到抛物线y=(x十3)(x一5)，则 C.对称轴是直线x=一2 这个变换可以是…() D.在对称轴的左侧，y随x的增大而增大 A.向左平移2个单位长度 变式：（由一般式换为顶点式）(2023兰州)已 B.向右