第6讲 一元二次方程及其应用（讲义） -备战2024年浙江中考数学一轮复习

备战2024年浙江中考数学一轮复习·讲义 第二单元 方程（组）与不等式（组） 第6讲 一元二次方程及其应用 ( 课标要求 ) 1.理解一元二次方程的定义及一般形式ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，能把一元二次方程化为一般形式； 2.掌握一元二次方程的四种解法，能选择适当的方法解一元二次方程； 3.理解一元二次方程根的判别式，会用根的判别式判断方程解的情况；了解一元二次方程根与系数的关系； 4.会用一元二次方程解如增长率问题、销售利润问题、距离问题、面积问题等实际生活中常见的问题. ( 备考指南 ) 考点分布 考查频率 命题趋势 考点1一元二次方程的相关概念 ☆ 本考点内容以考查一元二次方程的相关概念、解一元二次方程、根的判别式、韦达定理（根与系数的关系）、一元二次方程的应用题为主，既有单独考查，也有和二次函数结合考察最值问题，年年考查，分值为15分左右. 预计2024年各地中考还将继续考查上述的几个题型，复习过程中要多注意各基础考点的巩固，特别是解法中公式法的公式，不要和后续二次函数顶点坐标的纵坐标公式记混了． 考点2一元二次方程的解法 ☆☆ 考点3一元二次方程的根与系数的关系 ☆ 考点4 一元二次方程的应用 ☆☆ ( 知识网络 ) ( 知识清单 ) 1．一元二次方程的定义： 两边都是 ，只含有 ，并且未知数的最高次数是 ，这样的方程叫做一元二次方程．我们把 称为一元二次方程的一般形式，其中ax2，bx，c分别称为二次项、一次项和常数项，a，b分别称为二次项系数和一次项系数． 2．一元二次方程的解法： 一元二次方程的解法有 ， ， ， 四种. (1)开平方法：形如x2＝a(a≥0)或(x±b)2＝a(a≥0)的，都可以用开平方法． (2)配方法：一般步骤：①化二次项系数为 ；②移项，使方程左边为二次项和一次项，右边为常数项；③配方，即方程两边都加上 ；④化为(x±b)2＝a(a≥0)的形式，再用 求出方程的解． (3)公式法：求根公式 (其中 )． (4)因式分解法：一般步骤：①将方程右边化为 ；②将方程化为A·B＝0(其中A，B是整式)；③令A＝0，B＝0，即可解方程． 3．一元二次方程根与系数的关系： （1）一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的判别式：Δ=b2－4ac ①当Δ＞0时，方程 实数根． ②当Δ＝0时，方程 实数根． ③当Δ＜0时，方程 实数根． （2）一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根与系数的关系：设方程的两个根为，则， 4．一元二次方程的实际应用： 常见的等量问题： (1)平均增长率(下降率)问题： 如果基数用a表示，末数用b表示，增长率(下降率)用x表示，时间间隔用n表示，那么可用等量关系表示为 ． (2)利润问题： 利润＝售价－ ，利润率＝ ， 销售价＝(1＋ )×进货价． (3)利息问题： 利息＝本金× ×时间，本息和＝ ＋利息． (4)面积问题： 如图，对于矩形中有条形通道的求面积问题，通常把图①中的通道平移转化为如图②的形状，再求 面积． 设通道的宽为x，则S空白＝ ． ( 深度讲练 ) ■考点一　一元二次方程的有关概念► ◇典例1：（2023•兰溪市模拟）如果关于x的一元二次方程ax2+bx+1＝0的一个解是x＝1，则代数式2023﹣a﹣b的值为（　　） A．﹣2022 B．2022 C．2023 D．2024 ◆变式训练 1．（2021•永嘉县校级模拟）下列方程中，是关于x的一元二次方程的是（　　） A．2x2﹣x﹣y2＝0 B．x（x﹣2）＝0 C．ax2+bx+c＝0 D． 2．（2021•永嘉县模拟）一元二次方程3x2﹣2＝4x可化成一般形式为（　　） A．3x2﹣4x+2＝0 B．3x2﹣4x﹣2＝0 C．3x2+4x+2＝0 D．3x2+4x﹣2＝0 3．（2023•长兴县二模）若x＝﹣1是一元二次方程ax2+bx﹣2＝0（a≠0）的一个根，则a﹣b的值是 　2　． ■考点二 一元二次方程的解法► ◇典例2：（2021•东阳市模拟）解方程：（x﹣3）2＝（2x﹣1）（x﹣3）． ◆变式训练 1．（2022•永康市模拟）已知a是方程2x2﹣3x﹣5＝0的一个解，则﹣4a2+6a的值为（　　） A．10 B．﹣10 C．2 D．﹣40 2．（2023•临安区一模）方程（x﹣2）2＝2x（x﹣2）的解是（　　） A．x1＝2，x2＝1 B．x1＝2，x2＝﹣2 C．x1＝2，x2＝0 D．x