专题06：数列大题真题精练-2024年新高考数学解答题核心考点分解训练与突破（新高考二轮复习）

06数列大题真题精练 一、必备知识： 1、利用定义判断数列的类型：注意定义要求的任意性，例如若数列满足（常数）（，）不能判断数列为等差数列，需要补充证明； 2、数列满足，则是等差数列； 3、数列满足，为非零常数，且，则为等比数列； 4、在处理含，的式子时，一般情况下利用公式，消去，进而求出的通项公式；但是有些题目虽然要求的通项公式，但是并不便于运用，这时可以考虑先消去，得到关于的递推公式，求出后再求解． 5、遇到形如的递推关系式，可利用累加法求的通项公式，遇到形如的递推关系式，可利用累乘法求的通项公式，注意在使用上述方法求通项公式时，要对第一项是否满足进行检验． 6、遇到下列递推关系式，我们通过构造新数列，将它们转化为熟悉的等差数列、等比数列，从而求解该数列的通项公式： （1）形如（，），可变形为，则是以为首项，以为公比的等比数列，由此可以求出； （2）形如（，），此类问题可两边同时除以，得，设，从而变成，从而将问题转化为第（1）个问题； （3）形如，可以考虑两边同时除以，转化为的形式，设，则有，从而将问题转化为第（1）个问题． 7、公式法是数列求和的最基本的方法，也是数列求和的基础．其他一些数列的求和可以转化为等差或等比数列的求和．利用等比数列求和公式，当公比是用字母表示时，应对其是否为进行讨论． 8、用裂项相消法求和时，要对通项进行变换，如：，，裂项后产生可以连续相互抵消的项．抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项，也有可能前面剩两项，后面也剩两项，但是前后所剩项数一定相同． 常见的裂项公式： （1）； （2）； （3）； （4）； （5）． 9、用错位相减法求和时的注意点： （1）要善于通过通项公式特征识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形； （2）在写出“”与“”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“”的表达式； （3）在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解． 10、分组转化法求和的常见类型： （1）若，且，为等差或等比数列，可采用分组求和法求的前项和； （2）通项公式为，其中数列，是等比数列或等差数列，可采用分组求和法求和； （3）要善于识别一些变形和推广的分组求和问题． 11、在等差数列中，若（，，，，），则． 在等比数列中，若（，，，，），则． 12、前项和与积的性质 （1）设等差数列的公差为，前项和为． ①，，，…也成等差数列，公差为． ②也是等差数列，且，公差为． ③若项数为偶数，则，． 若项数为奇数，则，． （2）设等比数列的公比为，前项和为 ①当时，，，，…也成等比数列，公比为 ②相邻项积，，，…也成等比数列，公比为． ③若项数为偶数，则，；项数为奇数时，没有较好性质． 13、衍生数列 （1）设数列和均是等差数列，且等差数列的公差为，，为常数． ①的等距子数列也是等差数列，公差为． ②数列，也是等差数列，而是等比数列． （2）设数列和均是等比数列，且等比数列的公比为，为常数． ①的等距子数列也是等比数列，公比为． ②数列，，，，， 也是等比数列，而是等差数列． 14、判断数列单调性的方法 （1）比较法（作差或作商）；（2）函数化（要注意扩展定义域）． 15、求数列最值的方法（以最大值项为例，最小值项同理） 方法：利用数列的单调性； 方法2：设最大值项为，解方程组，再与首项比较大小． 二、题组 1．（2023年新高考全国I卷）设等差数列的公差为，且．令，记分别为数列的前项和．(1)若，求的通项公式；(2)若为等差数列，且，求． 【考点】（1）有恒等关系的双数列和双等式条件下用赋值法、方程法求基本量进而求通项公式； （2）等差数列性质转化计算，解方程； 2．（2023年新高考全国II卷）已知为等差数列，，记，分别为数列，的前n项和，，．(1)求的通项公式；(2)证明：当时，． 【考点】（1）有恒等关系的双数列和双等式条件下用赋值法、方程法求基本量进而求通项公式； （2）奇偶并项构建等差数列，分组求和，倒序相加求和； （3）奇偶分段数列奇偶分类讨论，作差法比较大小； 3．（2022年新高考全国I卷）记为数列的前n项和，已知是公差为的等差数列．(1)求的通项公式；(2)证明：． 【考点】（1）等差数列求通项；（2）由和恒等关系转化累乘法求通项；（3）裂项相消法求和； （4）放缩法比较大小. 4．（2022年新高考全国II卷）已知为等差数列，是公比为2的等比数列，且．(1)证明：；(2)求集合中元素个数． 【考点】（1）等差等比双数列基本量方程求值； （2）由等差等比双数列通项恒等关系转化指数幂取整求值 5．（2021年新高考全国I卷）已知数列满足，（1）记，写出，，并求数列的通项公式；（2）求的前20项和. 【考点】（1）奇偶分段等差数