课时达标检测(24) 用余弦定理、正弦定理解三角形-【赢在微点】轻松课堂2023-2024学年新教材高中数学必修(第二册)（北师大版）

课时达标检测(二十四)　用余弦定理、正弦定理解三角形 基础达标 　 一、单项选择题 1. 学校体育馆的人字形屋架为等腰三角形,如图,测得AC的长度为4 m,∠A=30°,则其跨度AB的长为 (　　) A.12 m B.8 m C.3 m D.4 m 解析　由题意知,∠A=∠B=30°,所以∠C=180°-30°-30°=120°,由正弦定理得,=,即AB===4 (m)。故选D。 答案　D 2. 如图所示,设A,B两点在河的两岸,一测量者在A的同侧,在所在的河岸边选定一点C,测出AC的距离为50 m, ∠ACB=45°,∠CAB=105°后,就可以计算出A,B两点的距离为 (　　) A.50 m B.50 m C.25 m D. m 解析　由题意得B=30°,由正弦定理,得=,所以AB===50(m)。 答案　A 3.海上的A,B两个小岛相距10 n mile,从A岛望C岛和B岛成60°的视角,从B岛望C岛和A岛成75°的视角,则B岛与C岛之间的距离是 (　　) A.10 n mile B. n mile C.5 n mile D.5 n mile 解析　 由题意,作出示意图,如图,在△ABC中,C=180°-60°-75°=45°,由正弦定理,得=,解得BC=5(n mile)。故选D。 答案　D 4. 如图所示,为测一建筑物的高度,在地面上选取A,B两点,从A,B两点测得建筑物顶端的仰角分别为30°,45°,且A,B两点间的距离为60 m,则该建筑物的高度为参考数据:sin 15°= (　　) A.(30+30) m B.(30+15) m C.(15+30) m D.(15+15) m 解析　在△PAB中,∠PAB=30°,∠APB=15°,AB=60 m,由正弦定理,得PB==30(+)(m),所以建筑物的高度为PBsin 45°=30(+)×=(30+30)(m)。故选A。 答案　A 5.如图,某建筑物的高度BC=300 m,一架无人机Q(无人机的大小忽略不计)上的仪器观测到建筑物顶部C的仰角为15°,地面某处A的俯角为45°,且∠BAC=60°,则此无人机距离地面的高度PQ为 (　　) A.100 m B.200 m C.300 m D.400 m 解析　在Rt△ABC中,∠BAC=60°,BC=300,所以AC===200。在△ACQ中,∠AQC=45°+15°=60°,∠QAC=180°-45°-60°=75°,所以∠QCA=180°-∠AQC-∠QAC=45°。由正弦定理,得=,得AQ==200。在Rt△APQ中,PQ=AQsin 45°=200×=200,故此无人机距离地面的高度为200 m。故选B。 答案　B 6. 如图所示,位于东海某岛的雷达观测站A,发现其北偏东45°,与观测站A距离20海里的B处有一货船正匀速向正南直线行驶,半小时后,又测得该货船位于观测站A东偏北15°的C处。已知A,C两处的距离为10海里,则该货船的船速为 (　　) A.20海里/时 B.10海里/时 C.15海里/时 D.25海里/时 解析　因为cos(45°-15°)=cos 30°=,在△ABC中,BC2=(20)2+102-2×20×10×=700,所以BC=10,该货船的船速为=20海里/时。故选A。 答案　A 二、多项选择题 7.某人在A处向正东方向走x km后到达B处,他向右转150°,然后朝新方向走3 km到达C处,结果他离出发点恰好 km,那么x的值为 (　　) A. B.2 C.3 D.3 解析　由题意得∠ABC=30°,由余弦定理,得cos 30°=。解得x=2或x=。故选AB。 答案　AB 8. 如图所示,在坡度一定的山坡A处测得山顶上一建筑物CD的顶端C对于山坡的斜度为15°,向山顶前进100米到达B处,又测得C对于山坡的斜度为45°,若CD=50米,山坡对于地面的坡角为θ,则参考数据:sin 15°= (　　) A.BC=50(-)米 B.BC=50(+)米 C.cos θ=-1 D.cos θ= 解析　在△ABC中,由正弦定理可知,BC===50(-)米。在△BCD中,sin∠BDC===-1,所以cos θ=sin∠BDC=-1。 答案　AC 三、填空题 9.上海世博园中的世博轴是一条1 000 m长的直线型通道,中国馆位于世博轴的一侧。现测得中国馆到世博轴两端的距离相等,并且从中国馆看世博轴两端的视角为120°。据此数据计算,中国馆到世博轴其中一端的距离是　　　　m。  解析　 如图所示,设A,B为世博轴的两端点,C为中国馆,由题意知∠ACB=120°,且AC=BC,过C作AB的垂线交AB于点D,在Rt△CBD中,DB=500 m,∠DCB=60°,所以BC= m。 答案　 10.江岸边