课时达标检测(23) 正弦定理-【赢在微点】轻松课堂2023-2024学年新教材高中数学必修(第二册)（北师大版）

课时达标检测(二十三)　正弦定理 基础达标 　 一、单项选择题 1.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,a=3,A=30°,B=15°,则c等于 (　　) A.1 B. C.3 D. 解析　C=180°-30°-15°=135°,c===3。故选C。 答案　C 2.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若=,则C为 (　　) A.30° B.45° C.60° D.90° 解析　由正弦定理知=,所以=,所以cos C=sin C,所以tan C=1,又因为0°<C<180°,所以C=45°。故选B。 答案　B 3.已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若B=30°,b=1,则= (　　) A.1 B.2 C. D. 解析　由正弦定理可得===2,故选B。 答案　B 4.在△ABC中,若==,则△ABC是 (　　) A.钝角三角形 B.等腰直角三角形 C.直角三角形 D.等边三角形 解析　由==及正弦定理,得==(R为△ABC的外接圆半径),所以tan A=tan B=tan C。又A,B,C为三角形的内角,所以A=B=C,所以△ABC为等边三角形,故选D。 答案　D 5. 如图,在△ABC中,已知∠B=45°,D是BC边上一点,∠BAD=75°,DC=1,AC=,则AB= (　　) A. B. C.2 D.3 解析　易知∠ADC=120°,根据余弦定理,可得AC2=AD2+DC2-2AD·DC·cos 120°,即AD2+AD-6=0,所以AD=2。又∠ADB=60°,所以根据正弦定理,得=,即AB===。 答案　B 6.在△ABC中,a,b,c分别是三个内角A,B,C所对的边,且不全相等,其中a为最大边,如果sin2(B+C)<sin2B+sin2C,则A的取值范围为 (　　) A., B., C., D.0, 解析　由题意得sin2 A<sin2 B+sin2 C,由正弦定理得a2<b2+c2,即b2+c2-a2>0,则cos A=>0,又0<A<π,所以0<A<,又a为最大边,所以A的取值范围为,。故选A。 答案　A 二、多项选择题 7.不解三角形,则下列对三角形解的个数的判断中正确的是 (　　) A.a=7,b=14,A=30°,有两解 B.a=30,b=25,A=150°,有一解 C.a=,b=,A=60°,无解 D.a=6,b=9,A=45°,有两解 解析　A中a=bsin A,有一解;B中A>90°,a>b,有一解;C中sin B==>1,无解;D中a<bsin A,无解。 答案　BC 8.锐角△ABC中,三个内角分别是A,B,C,且A>B,则下列说法正确的是 (　　) A.sin A>sin B B.cos A<cos B C.sin A>cos B D.sin B>cos A 解析　A>B⇔a>b⇔sin A>sin B。故A成立。函数y=cos x在区间[0,π]上是减函数,因为A>B,所以cos A<cos B,故B成立。在锐角三角形中,因为A+B>,所以A>-B,函数y=sin x在区间0,上是增函数,则有sin A>sin,即sin A>cos B,C成立,同理sin B>cos A,故D成立。 答案　ABCD 三、填空题 9.在△ABC中,已知BC=,sin C=2sin A,则AB=　　　　。  解析　由正弦定理得=,所以AB=×BC=2BC=2。 答案　2 10.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c。已知A=45°,a=6,b=3,则B的大小为　　　　。  解析　由正弦定理得=,即=,解得sin B=,又B为三角形内角,所以B=30°或B=150°,又因为a>b,所以A>B,即B=30°。 答案　30° 11.在△ABC中,A=60°,a=,则其面积的最大值为　　　　。  解析　在△ABC中,A=60°,a=,由a2=b2+c2-2bccos A得,b2+c2-bc=3,又b2+c2≥2bc(当且仅当b=c时取等号),所以2bc-bc=bc≤3,所以S△ABC=bcsin A≤×3×=,当且仅当b=c=时取等号,故△ABC的面积的最大值为。 答案　 四、解答题 12.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知b=6,c=6,C=30°,求a。 解　由正弦定理,得=,得sin B==。因为b>c,所以B>C=30°,所以B=60°或120°。当B=60°时,A=90°,a===12。当B=120°时,A=30°,a===6。所以a=6或a=12。 13.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,2a=b+c,sin2A=sin Bsin C,试判断△ABC的形状。 解　由sin2A=sin Bsin C,可