课时达标检测(22) 余弦定理-【赢在微点】轻松课堂2023-2024学年新教材高中数学必修(第二册)（北师大版）

课时达标检测(二十二)　余弦定理 基础达标 　 一、单项选择题 1.在△ABC中,如果BC=6,AB=4,cos B=,则AC= (　　) A.6 B.2 C.3 D.4 解析　由余弦定理,得AC2=AB2+BC2-2AB·BC·cos B=16+36-2×4×6×=36,所以AC=6。 答案　A 2.在△ABC中,若AB=,BC=3,C=120°,则AC= (　　) A.1 B.2 C.3 D.4 解析　在△ABC中,若AB=,BC=3,C=120°,由AB2=BC2+AC2-2AC·BCcos C,可得13=9+AC2+3AC,解得AC=1或AC=-4(舍去)。故选A。 答案　A 3.在△ABC中,B=60°,b2=ac,则此三角形一定是 (　　) A.直角三角形 B.等边三角形 C.等腰直角三角形 D.钝角三角形 解析　由余弦定理,得b2=a2+c2-ac,又因为b2=ac,所以a2+c2-2ac=0,即(a-c)2=0,所以a=c。因为B=60°,所以A=C=60°。故△ABC是等边三角形。 答案　B 4.在△ABC中,若a=8,b=7,cos C=,则最大角的余弦值是 (　　) A.- B.- C.- D.- 解析　由余弦定理,得c2=a2+b2-2abcos C=82+72-2×8×7×=9,所以c=3,故a最大,所以最大角的余弦值为cos A===-。 答案　C 5.在△ABC中,AB=5,BC=7,AC=8,则·的值为 (　　) A.79 B.69 C.5 D.-5 解析　由余弦定理得cos∠ABC===。因为向量与的夹角为180°-∠ABC,所以·=||||cos(180°-∠ABC)=5×7×=-5。 答案　D 6.在△ABC中,若=,则△ABC是 (　　) A.正三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形或直角三角形 D.等腰直角三角形 解析　因为=,所以cos B=,所以=,所以a2+c2-b2=2a2,即a2+b2=c2,所以△ABC为直角三角形。 答案　B 二、多项选择题 7.设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c。若a=2,c=2,cos A=,且b<c,则 (　　) A.b=2 B.b=2 C.B=60° D.B=30° 解析　由a2=b2+c2-2bccos A,得4=b2+12-6b⇒b2-6b+8=0⇒(b-2)(b-4)=0,由b<c,得b=2。又a=2,cos A=,所以B=A=30°。故选AD。 答案　AD 8.在△ABC中,已知A=30°,且3a=b=12,则c的值为 (　　) A.4 B.8 C.4或6 D.无解 解析　由3a=b=12,得a=4,b=4,利用余弦定理可得a2=b2+c2-2bccos A,即16=48+c2-12c,解得c=4或c=8。 答案　AB 三、填空题 9.已知a,b,c为△ABC的三边,B=120°,则a2+c2+ac-b2=　　　　。  解析　因为b2=a2+c2-2accos B=a2+c2-2accos 120°=a2+c2+ac,所以a2+c2+ac-b2=0。 答案　0 10.在△ABC中,若a=2,b+c=7,cos B=-,则b=　　　　。  解析　因为b+c=7,所以c=7-b。由余弦定理得b2=a2+c2-2accos B,即b2=4+(7-b)2-2×2×(7-b)×,解得b=4。 答案　4 11.在△ABC中,AB=2,AC=,BC=1+,AD为边BC上的高,则AD的长是　　　　。  解析　因为cos C==,所以sin C=,所以AD=ACsin C=。 答案　 四、解答题 12.设△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c。已知sin C=,a=2,b=2,求c。 解　因为sin C=,且0<C<π,所以C=或。当C=时,cos C=,此时c2=a2+b2-2abcos C=4,所以c=2。当C=时,cos C=-,此时c2=a2+b2-2abcos C=28,所以c=2。综上所述,c的值为2或2。 13.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,b=asin C,c=acos B,试判断△ABC的形状。 解　由余弦定理知cos B=,代入c=acos B,得c=a·,所以c2+b2=a2。所以△ABC是以A为直角的直角三角形。又因为b=asin C,所以b=a·。所以b=c。所以△ABC也是等腰三角形。综上所述,△ABC是等腰直角三角形。 素养升级 14.(多选)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c。若c=4,b=7,BC边上的中线AD的长为,则 (　　) A.cos C= B.cos C= C.a= D.a=9 解析　因为AD是BC边上的中线,所以设CD=DB=x(x>0),则