课时达标检测(21) 利用数量积计算长度与角度-【赢在微点】轻松课堂2023-2024学年新教材高中数学必修(第二册)（北师大版）

课时达标检测(二十一)　利用数量积计算长度与角度 基础达标 　 一、单项选择题 1.若向量a=(x+1,2)和向量b=(1,-1)平行,则|a+b|= (　　) A. B. C. D. 解析　由题意得,-(x+1)-2×1=0,得x=-3,即a=(-2,2),a2=(-2)2+22=8,又b=(1,-1),所以b2=12+(-1)2=2,a·b=(-2)×1+2×(-1)=-4,所以|a+b|===。故选C。 答案　C 2.已知向量a,b满足|a|=1,|b|=2,且a在b方向上的投影数量与b在a方向上的投影数量相等,则|a-b|= (　　) A.1 B. C. D.3 解析　由于投影数量相等,故有|a|cos<a,b>=|b|cos<a,b>,因为|a|=1,|b|=2,所以cos<a,b>=0,即a⊥b,则|a-b|==。 答案　C 3.已知a,b为平面内两个向量,a=(4,3),2a+b=(3,18),则a,b夹角的余弦值等于 (　　) A. B.- C. D.- 解析　设b=(x,y),由题可知,2a+b=(8+x,6+y)=(3,18),解得x=-5,y=12,故b=(-5,12),设a,b的夹角为θ,则cos θ==。故选C。 答案　C 4.已知向量a,b为非零向量,(a-2b)⊥a,(b-2a)⊥b,则a,b的夹角为 (　　) A. B. C. D. 解析　设a与b的夹角为θ。因为(a-2b)⊥a,(b-2a)⊥b,所以(a-2b)·a=a2-2a·b=0,(b-2a)·b=b2-2a·b=0。所以a2=2a·b,b2=2a·b,所以a2=b2,所以|a|=|b|,所以cos θ=====。因为θ∈[0,π],所以θ=。所以向量a,b的夹角为。故选B。 答案　B 5.已知i与j为互相垂直的单位向量,a=i-2j,b=i+λj,且a与b的夹角为锐角,则实数λ的取值范围是 (　　) A.(-∞,-2)∪-2, 　B.,+∞ C.-2,∪,+∞ 　D.-∞, 解析　因为i与j为互相垂直的单位向量,所以i2=j2=1,i·j=0。又因为a=i-2j,b=i+λj,且a与b的夹角为锐角,所以a·b=1-2λ>0,λ<,但当λ=-2时,a=b,不满足题意,故满足条件的实数λ的取值范围是(-∞,-2)∪-2,。故选A。 答案　A 二、多项选择题 6.已知a,b是单位向量,且a+b=(1,-1),则 (　　) A.|a+b|=2 B.a与b垂直 C.a与a-b的夹角为 D.|a-b|=1 解析　由a+b=(1,-1),得|a+b|2=12+(-1)2=2,则|a+b|=,所以A选项错误;因为a,b是单位向量,所以|a+b|2=1+1+2a·b=2,得a·b=0,所以B选项正确;由|a-b|2=a2+b2-2a·b=2,所以|a-b|=,所以D选项错误;设a与a-b的夹角为θ,则cos θ====,θ∈[0,π],所以a与a-b的夹角为,所以C选项正确。故选BC。 答案　BC 7.已知在直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠ADC=90°,AD=2,BC=1,P是腰DC上的动点,则|+3|的值可能是 (　　) A.3 B.4 C.5 D.6 解析　 建立如图所示的平面直角坐标系,设DC=h,则A(2,0),B(1,h)。设P(0,y)(0≤y≤h),则=(2,-y),=(1,h-y),所以+3=(5,3h-4y),所以|+3|=≥=5。故|+3|的最小值为5。故选CD。 答案　CD 三、填空题 8.已知向量a,b满足(a+2b)·(5a-4b)=0,且|a|=|b|=1,则a与b的夹角θ为　　　　。  解析　因为(a+2b)·(5a-4b)=0,|a|=|b|=1,所以6a·b-8+5=0,即a·b=。又a·b=|a||b|·cos θ=cos θ,所以cos θ=,因为θ∈[0,π],所以θ=。 答案　 9.已知a=(2,0),b=(1,2),实数λ满足|a-λb|=,则λ的值为　　　　。  解析　由题意可得a-λb=(2-λ,-2λ),所以|a-λb|==,解得λ=1或λ=-。 答案　1或- 10.已知a,b为单位向量,且a·b=0,若c=2a-b,则cos<a,c>=　　　　。  解析　设a=(1,0),b=(0,1),则c=(2,-),所以cos<a,c>==。 答案　 四、解答题 11.已知|a|=1,a·b=,(a-b)·(a+b)=,求: (1)a与b的夹角; (2)a-b与a+b的夹角的余弦值。 解　(1)因为(a-b)·(a+b)=|a|2-|b|2=,又|a|=1,所以|b|2=,所以|b|=。设a与b的夹角为θ,则cos θ===,因为0°≤θ≤180°,所以θ=45°,所以a与b的夹角为45°。 (2