课时达标检测(20) 向量数量积的坐标表示-【赢在微点】轻松课堂2023-2024学年新教材高中数学必修(第二册)（北师大版）

课时达标检测(二十)　向量数量积的坐标表示 基础达标 　 一、单项选择题 1.已知向量a=(2,-1),b=(1,-1),则(a+2b)·(a-3b)= (　　) A.10 B.-10 C.3 D.-3 解析　a+2b=(4,-3),a-3b=(-1,2),所以(a+2b)·(a-3b)=4×(-1)+(-3)×2=-10。故选B。 答案　B 2.已知点A(1,2),B(2,3),C(-2,5),则·等于 (　　) A.-1 B.0 C.1 D.2 解析　因为=(2,3)-(1,2)=(1,1),=(-2,5)-(1,2)=(-3,3),所以·=1×(-3)+1×3=0。 答案　B 3.已知平面向量a=(2,4),b=(-1,2),若c=a-6b,则|c|等于 (　　) A.4 B.2 C.8 D.8 解析　c=(2,4)-6(-1,2)=(8,-8),所以|c|==8。故选D。 答案　D 4.已知向量m,n满足m+2n=(1,-1),m-n=(2,3),则m·n= (　　) A. B.- C. D.- 解析　因为m+2n=(1,-1)　①,m-n=(2,3)　②,联立①②,得m=,n=,所以m·n=×+×=-。故选B。 答案　B 5.已知向量a=(2,1),b=(-1,1),则a在b方向上的投影数量为 (　　) A.- B. C.- D. 解析　因为a·b=2×(-1)+1×1=-1,所以a在b方向上的投影数量为|a|cos<a,b>====-。 答案　A 6.已知a=(-1,3),b=(2,-1),且(ka+b)⊥(a-2b),则k= (　　) A. B.- C. D.- 解析　由题意知,ka+b=(2-k,3k-1),a-2b=(-5,5),且(ka+b)·(a-2b)=0,故-5(2-k)+5(3k-1)=0,解得k=。 答案　C 二、多项选择题 7.已知向量a+b=(1,1),a-b=(-3,1),c=(1,1),设a,b的夹角为θ,则 (　　) A.|a|=|b| B.a⊥c C.b∥c D.θ=135° 解析　根据题意,a+b=(1,1),a-b=(-3,1),则a=(-1,1),b=(2,0),依次分析选项:对于A,因为|a|=,|b|=2,所以|a|=|b|不成立,A错误;对于B,因为a=(-1,1),c=(1,1),所以a·c=0,即a⊥c,B正确;对于C,因为b=(2,0),c=(1,1),所以b∥c不成立,C错误;对于D,因为a·b=-2,|a|=,|b|=2,所以cos θ==-,则θ=135°,D正确。 答案　BD 8.在△ABC中,=(2,3),=(1,k),若△ABC是直角三角形,则k的值可以是(　　) A.-1 B. C. D. 解析　△ABC中,=(2,3),=(1,k),①当∠A=90°时,·=0,即2×1+3k=0,解得k=-。②当∠B=90°时,=-=(-1,k-3),且·=0,即2×(-1)+3×(k-3)=0,解得k=。③当∠C=90°时,·=0,即-1+k(k-3)=0,整理得k2-3k-1=0,解得k=。综上知,k的取值为-或或。 答案　BCD 三、填空题 9.已知向量a=(3,),b=(1,0),则(a-2b)·b=　　　　。  解析　a-2b=(1,),(a-2b)·b=1×1+×0=1。 答案　1 10.设向量a=(1,-1),b=(m+1,2m-4),若a⊥b,则m=　　　　。  解析　因为a⊥b,所以a·b=0,即1×(m+1)+(-1)×(2m-4)=0,解得m=5。 答案　5 11.已知=(2,2),=(4,1),O为坐标原点,若在x轴上存在一点P,使得·有最小值,则点P的坐标为　　　　。  解析　设P(x,0),则·=(x-2,-2)·(x-4,-1)=(x-2)(x-4)+2=x2-6x+10=(x-3)2+1,当x=3时,·有最小值,此时点P的坐标为(3,0)。 答案　(3,0) 四、解答题 12.已知向量a=(2+sin x,1),b=(2,-2),c=(sin x-3,1),d=(1,k)(x∈R,k∈R)。 (1)若x∈,且a∥(b+c),求x的值。 (2)若函数f(x)=a·b,求f(x)的最小值。 (3)是否存在实数k,使得(a+d)⊥(b+c)?若存在,求出k的取值范围;若不存在,请说明理由。 解　(1)因为b+c=(sin x-1,-1),a∥(b+c),所以-(2+sin x)=sin x-1,即sin x=-。又x∈,所以x=-。 (2)因为a=(2+sin x,1),b=(2,-2),所以f(x)=a·b=2(2+sin x)-2=2sin x+2。因为x∈R,所以-1≤sin x≤1,所以0≤f(x)≤4,所以f(x)的最小值