课时达标检测(19) 向量的数量积-【赢在微点】轻松课堂2023-2024学年新教材高中数学必修(第二册)（北师大版）

课时达标检测(十九)　向量的数量积 基础达标 　 一、单项选择题 1.若|a|=2,|b|=3,a,b的夹角θ为120°,则a·(4b)的值为 (　　) A.12 B.-12 C.12 D.-12 解析　a·(4b)=|a||4b|cos 120°=2×4×3×=-12。 答案　B 2.已知平面上三点A,B,C,满足||=3,||=4,||=5,ABBCBCCACAAB的值等于 (　　) A.-7 B.7 C.25 D.-25 解析　由条件知∠ABC=90°,所以原式=0+4×5×cos(180°-C)+5×3cos(180°-A)=-20cos C-15cos A=-20×-15×=-16-9=-25。 答案　D 3.已知平面向量a,b满足|a|=2,|b|=3,且a·b=4,则向量a在b方向上的投影数量是 (　　) A. B. C.2 D.1 解析　设向量a与b的夹角是θ,则向量a在b方向上的投影数量为|a|cos θ==。故选A。 答案　A 4.若向量a与b的夹角为60°,|b|=4,(a+2b)·(a-3b)=-72,则|a|= (　　) A.2 B.4 C.6 D.12 解析　因为(a+2b)·(a-3b)=-72,所以a2-a·b-6b2=-72,所以|a|2-|a||b|cos 60°-6|b|2=-72,所以|a|2-2|a|-24=0。又因为|a|≥0,所以|a|=6。 答案　C 5.已知单位向量a,b的夹角为60°,则在下列向量中,与b垂直的是 (　　) A.a+2b B.2a+b C.a-2b D.2a-b 解析　由题意,得a·b=|a||b|cos 60°=。对于A,(a+2b)·b=a·b+2b2=+2=≠0,故A不符合题意;对于B,(2a+b)·b=2a·b+b2=1+1=2≠0,故B不符合题意;对于C,(a-2b)·b=a·b-2b2=-2=-≠0,故C不符合题意;对于D,(2a-b)·b=2a·b-b2=1-1=0,所以(2a-b)⊥b。故选D。 答案　D 6.设P为△ABC所在平面内一点,且满足·=·=·,则P是△ABC的 (　　) A.重心 B.垂心 C.外心 D.内心 解析　由·=·,得·(-)=·=0,即PB⊥CA,同理PA⊥BC,PC⊥BA,所以P是△ABC的垂心。故选B。 答案　B 二、多项选择题 7.下面给出的关系式中正确的是 (　　) A.0·a=0 B.a·b=b·a C.a2=|a|2 D.(a·b)2=a2·b2 解析　A,B,C正确,D错误,(a·b)2=(|a||b|cos θ)2=a2·b2cos2θ不一定等于a2·b2,θ为向量a与b的夹角。 答案　ABC 8.△ABC是边长为2的等边三角形,已知向量a,b满足=2a,=2a+b,则下列结论中正确的是 (　　) A.a为单位向量 B.b为单位向量 C.a⊥b D.(4a+b)⊥ 解析　因为等边三角形ABC的边长为2,=2a,所以||=2|a|=2,所以|a|=1,故A正确;因为=+=2a+,所以=b,所以|b|=2,故B错误;由于=2a,=b,所以a与b的夹角为120°,故C错误;又因为(4a+b)·=4a·b+|b|2=4×1×2×+4=0,所以(4a+b)⊥,故D正确。故选AD。 答案　AD 三、填空题 9.已知向量a在向量b方向上的投影数量为3,|b|=2,则a·b=　　　　。  解析　由题意可得|a|cos<a,b>=3,所以a·b=|a||b|cos<a,b>=3×2=6。 答案　6 10.已知e1,e2是夹角为的两个单位向量,a=e1-2e2,b=ke1+e2,若a⊥b,则实数k的值为　　　　。  解析　由a·b=0得(e1-2e2)·(ke1+e2)=0。整理,得k-2+(1-2k)cos=0,解得k=。 答案　 11.已知在△ABC中,AB=AC=4,·=8,则△ABC的形状是　　　　,·=　　　　。  解析　·=||||cos∠BAC,即8=4×4cos∠BAC,得cos∠BAC=,因为0°<∠BAC<180,所以∠BAC=60。又AB=AC,故△ABC是等边三角形。此时·=|AB||BC|cos 120°=-8。 答案　等边三角形　-8 四、解答题 12.如图,在▱ABCD中,||=4,||=3,∠DAB=60°,求: (1)·; (2)·; (3)·; (4)在方向上的投影数量。 解　(1)因为∥,且方向相同,所以与的夹角是0°,所以·=||||·cos 0°=3×3×1=9。 (2)因为∥,且方向相反,所以与的夹角是180°,所以·=||||cos 180°=4×4×(-1)=-16。 (3)因为与的夹角为60°,所以与的夹角为120°,所以·=||||cos 120°=4×3×=-