课时达标检测(17) 平面向量基本定理-【赢在微点】轻松课堂2023-2024学年新教材高中数学必修(第二册)（北师大版）

课时达标检测(十七)　平面向量基本定理 基础达标 　 一、单项选择题 1.如图所示,用向量e1,e2表示向量a-b为 (　　) A.-4e1-2e2 B.-2e1-4e2 C.e1-3e2 D.3e1-e2 答案　C 2.在△ABC中,D为AB的中点,点E满足=4,则= (　　) A.- B.- C.+ D.+ 解析　因为D为AB的中点,点E满足=4,所以=,=,所以=+=+=(+)-=-。故选A。 答案　A 3.设点D为△ABC中BC边上的中点,O为AD上靠近点A的三等分点,则 (　　) A.=-+ B.=- C.=- D.=-+ 解析　依题意,得=-=-=×(+)-=-+。故选D。 答案　D 4. 如图,在△ABC中,=,P是BN上一点,若=t+,则实数t的值为 (　　) A. B. C. D. 解析　因为=,所以=。设=λ,则=+=+λ=+λ(+)=+λ-+=λ+(1-λ),又=t+,所以t+=λ+(1-λ),由与不共线,得解得t=λ=。故选C。 答案　C 5. 如图所示,在四边形ABCD中,=,E为BC的中点,且=+,则3x-2y= (　　) A. B. C.1 D.2 解析　由题意,得=+=+=+(-++)=+-++=+。因AE=AB+AD,所以+AD=+AD。因ABAD不共线,所以由平面向量基本定理得所以3x-2y=3×-2×=1。故选C。 答案　C 6.在Rt△ABC中,A=90°,AB=6,AC=8,D是△ABC的内心,则= (　　) A.-+ B.- C.-+ D.- 解析　 如图所示,以A为原点,分别以AB,AC所在直线为x轴,y轴建立平面直角坐标系。由已知可得||==10。过点D作DE⊥x轴,DF⊥y轴,垂足分别为E,F,则四边形AEDF为正方形,所以内切圆的半径r==2,所以D(2,2),B(6,0),C(0,8)。设=m+n,则(-4,2)=m(6,0)+n(0,8),所以-4=6m,2=8n,解得m=-,n=,所以=-+。故选A。 答案　A 二、多项选择题 7.如果e1,e2是平面α内两个不共线的向量,那么下列说法中正确的是 (　　) A.λe1+μe2(λ,μ∈R)可以表示平面α内的所有向量 B.对于平面α内任一向量a,使a=λe1+μe2的实数对(λ,μ)有无穷多个 C.若向量λ1e1+μ1e2与λ2e1+μ2e2共线,则有且只有一个实数λ,使得λ1e1+μ1e2=λ(λ2e1+μ2e2) D.若存在实数λ,μ使得λe1+μe2=0,则λ=μ=0 解析　由平面向量基本定理可知,A,D是正确的。对于B,由平面向量基本定理可知,如果一个平面的基确定,那么任意一个向量在此基下的分解式是唯一的。对于C,当两向量的系数均为零,即λ1=λ2=μ1=μ2=0时,这样的λ有无数个。故选AD。 答案　AD 8.已知D,E,F分别为△ABC的边BC,CA,AB的中点,且=a,=b,下列结论正确的是 (　　) A.=-a-b B.=a+b C.=-a+b D.=a 解析　 如图,=+=-+=-b-a,A正确;=+=a+b,B正确;=+=-b-a,=+=b+(-b-a)=b-a,C正确;==-a,D不正确。 答案　ABC 三、填空题 9.已知λ1>0,λ2>0,{e1,e2}是平面内一组基,且a=λ1e1+λ2e2,则向量a与e1　　　　,a与e2　　　　。(填“共线”或“不共线”)  解析　因为e1,e2不共线,λ1>0,λ2>0,所以a与e1,e2都不共线。 答案　不共线　不共线 10. 如图,在△MAB中,C是边AB上的一点,且AC=5CB,设=a,=b,则=　　　。(用a,b表示)  解析　=+=+=+(-)=+=a+b。 答案　a+b 11. 如图,在▱ABCD中,E和F分别是边CD和BC的中点,若=λ+μ,其中λ,μ∈R,则λ+μ=　　　　。  解析　设=a,=b,则=a+b,=a+b,又因为=a+b=λ+μ=λ+μa+b,a与b不共线,所以即λ=μ=,所以λ+μ=。 答案　 四、解答题 12.在梯形ABCD中,AB∥CD,M,N分别是边DA,BC的中点,且=k(k≠1)。设=e1,=e2,选择基{e1,e2},试写出下列向量在此基下的分解式:,,。 解　 如图,因为=e2,且=k,所以==ke2。又因为+++=0,所以=---=-++=-e2+ke2+e1=e1+(k-1)e2。因为+++=0,所以=---=+-=+e2-=[e1+(k-1)e2]+e2-e1=e2。 13. 如图所示,在平行四边形ABCD中,=b,=a,M为边AB的中点,N为边BD靠近B的三等分点,求证:M,N,C三点共线。 证明　在△ABD中,=-。因为=a,=b,所以=b-a。因为点N是BD的三等分点,所以==(b-a)。