1.4.2 单位圆与正弦函数、余弦函数的基本性质-【赢在微点】轻松课堂2023-2024学年新教材高中数学必修(第二册)（北师大版）

4.2　单位圆与正弦函数、余弦函数的基本性质 　　 过山车是一项具有刺激性的娱乐工具,它的运动包含了许多物理学原理。如果能亲身体验一下由能量守恒、加速度和力交织在一起产生的效果,那感觉真是妙不可言。一个基本的过山车构造中,包含了爬升、滑落、倒转(儿童过山车没有倒转)等几个循环路径。正弦曲线、余弦曲线也像过山车一样“爬升”“滑落”,这是它们的哪些性质?我们本节就要学习相关知识。 1.理解正弦函数值、余弦函数值的符号。 2.掌握正弦函数、余弦函数的基本性质。 1.单位圆与正弦函数、余弦函数的基本性质 　 函数 性质 　 u=sin x v=cos x 定义域 R R 值域 [-1,1] [-1,1] 最值 当α=+2kπ(k∈Z)时,umax=1; 当α=-+2kπ(k∈Z)时,umin=-1 当α=2kπ(k∈Z)时,vmax=1; 当α=(2k+1)π(k∈Z)时,vmin=-1 周期性 是周期函数,最小正周期为2π 是周期函数,最小正周期为2π 单调性 在每一个区间-+2kπ,+2kπ(k∈Z)上都单调递增, 在每一个区间+2kπ,+2kπ(k∈Z)上都单调递减 在每一个区间[(2k-1)π,2kπ](k∈Z)上都单调递增, 在每一个区间[2kπ,(2k+1)π](k∈Z)上都单调递减 2.正弦函数值、余弦函数值在各象限的符号 根据正弦函数、余弦函数的定义和各象限内点的横、纵坐标的符号可以得到正弦函数值、余弦函数值在每个象限的符号,如图所示。 y=sin α,α∈R　　　y=cos α,α∈R 微提醒 (1)正、余弦函数的单调区间的长度都是π,但它们的周期都是2π,因此单调区间的长度是周期的一半。(2)正、余弦函数不是定义域上的单调函数。(3)终边相同的角的正弦函数值、余弦函数值相等,即对任意k∈Z,sin(α+2kπ)=sin α,cos(α+2kπ)=cos α,α∈R。 微思考 如何判断一个角的正(余)弦函数值的符号? 提示:先判断角的终边所在位置,再根据各象限的正(余)弦函数值的符号规律进行判断。 　 类型一　正弦函数、余弦函数的基本性质 　　【例1】　(1)求函数y=+lg cos x的定义域; (2)求函数y=sin x,x∈的最大值、最小值及单调区间。 解　(1)要使函数y=+lg cos x有意义,则所以x∈2kπ,2kπ+(k∈Z)。所以函数y=+lg cos x的定义域是(k∈Z)。 (2)因为函数y=sin x在上单调递增,在上单调递减,所以函数y=sin x,x∈的单调递增区间是,单调递减区间是。当x=时,ymax=1;当x=-时,ymin=-。 　　利用单位圆中正弦函数、余弦函数的定义研究正、余弦函数的性质,体现了“以形助数”的思想 【变式训练】　(1)若sin x=t-3,x∈R,求t的取值范围; (2)求下列函数的单调区间: ①y=sin x,x∈; ②y=cos x,x∈; (3)求下列函数的值域: ①y=sin x,x∈; ②y=-2cos x,x∈。 解　(1)因为-1≤sin x≤1,所以-1≤t-3≤1,由此解得2≤t≤4,故t的取值范围是[2,4]。 (2)①函数y=sin x在区间上单调递增,在区间上单调递减。 ②函数y=cos x在区间和上单调递增,在区间[0,π]上单调递减。 (3)①函数y=sin x在区间上单调递增,在区间上单调递减。又sin =1,sin=-,sin=,故函数y=sin x的值域为。 ②函数y=cos x在区间上单调递减,在区间上单调递增,又cos π=-1,cos=,cos=-,故函数y=cos x的值域为。所以函数y=-2cos x的值域为(-,2]。 类型二　正弦函数值、余弦函数值的符号的应用 　　【例2】　(1)判断下列各式的符号: ①sin(-670°)·cos 1 230°;②sin 8·cos 8。 (2)若sin 2α>0,且sin α<0,试确定角α的终边所在的象限。 解　(1)①因为-670°=-2×360°+50°,所以-670°是第一象限角,则sin(-670°)>0。又1 230°=3×360°+150°,所以1 230°是第二象限角,则cos 1 230°<0。所以sin(-670°)·cos 1 230°<0。 ②因为2π+<8<2π+π,即8 rad是第二象限角,则sin 8>0,cos 8<0,所以sin 8·cos 8<0。 (2)因为sin 2α>0,所以2kπ<2α<2kπ+π(k∈Z),所以kπ<α<kπ+(k∈Z)。当k为偶数时,令k=2m(m∈Z),则2mπ<α<2mπ+(m∈Z);当k为奇数时,令k=2m+1(m∈Z),则2mπ+π<α<2mπ+(m∈Z)。