专题6.1 等差数列及其前n项和【九大题型】-2024年高考数学二轮复习【举一反三】系列（新高考专用）

专题6.1 等差数列及其前n项和【九大题型】 【新高考专用】 【题型1 等差数列的基本量计算】 2 【题型2 等差中项及其应用】 2 【题型3 等差数列的性质的应用】 3 【题型4 等差数列的判定与证明】 3 【题型5 等差数列通项公式的求解】 4 【题型6 等差数列前n项和的性质】 5 【题型7 求等差数列的前n项和】 6 【题型8 求等差数列的前n项和的最值】 7 【题型9 等差数列的简单应用】 7 1、等差数列及其前n项和 等差数列是高考的热点内容，属于高考的常考内容之一.从近几年的高考情况来看，等差数列的基本量计算和基本性质、等差数列的中项性质、判定是高考考查的热点，主要以选择题、填空题的形式考查，难度较易；等差数列的证明、求和及综合应用是高考考查的重点，一般出现在解答题中，难度中等；高考中数列内容一般设置一道选择题和一道解答题，需要灵活求解. 【知识点1 等差数列的基本运算的解题策略】 1.等差数列的基本运算的两大求解思路： (1)等差数列的通项公式及前n项和公式共涉及五个量a1，an，d，n，Sn，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想来解决问题. (2)数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变量代换作用，而a1和d是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法. 【知识点2 等差数列的判定的方法与结论】 1.证明数列是等差数列的主要方法： (1)定义法：对于n≥2的任意自然数，验证an-an-1为同一常数.即作差法，将关于an-1的an代入an-an-1，在化简得到定值. (2)等差中项法：验证2an-1=an+an-2（n≥3，n∈N*）都成立. 2.判定一个数列是等差数列还常用到的结论： (1)通项公式：an=pn+q（p,q为常数）是等差数列. (2)前n项和公式：Sn=An2+Bn（A,B为常数）是等差数列. 问题的最终判定还是利用定义. 【知识点3 等差数列及其前n项和的性质及应用】 1.项的性质： 在等差数列中，若m+n=p+q(m,n,p,q∈N*)，则am+an=ap+aq. 2.和的性质： 在等差数列中，Sn为其前n项和，则 (1)S2n=n(a1+a2n)=…=n(an+an+1)； (2)S2n-1=(2n-1)an； (3)依次k项和成等差数列，即Sk,S2k-Sk,S3k-S2k,…成等差数列. 3.求等差数列前n项和的最值的常用方法： (1)邻项变号法：利用等差数列的单调性，求出其正负转折项，或者利用性质求其正负转折项，便可求得和的最值； (2)二次函数法：利用公差不为零的等差数列的前n项和Sn=An2+Bn（A,B为常数，A≠0）为二次函数，通过二次函数的性质求最值. (3)不等式组法：借助当Sn最大时，有，解此不等式组确定n的范围，进而确定n的值和对应Sn的值(即Sn最大值)，类似可求Sn的最小值. 【题型1 等差数列的基本量计算】 【例1】（2023·广西·统考模拟预测）设为等差数列，若，则公差（    ） A．－2 B．－1 C．1 D．2 【变式1-1】（2023·浙江台州·统考模拟预测）已知数列满足：，，.若，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．2022 【变式1-2】（2023·全国·模拟预测）记为等差数列的前n项和，已知，．若，则（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【变式1-3】（2023·浙江杭州·校考模拟预测）已知等差数列，记为数列的前项和，若，，则数列的公差（    ） A． B． C． D． 【题型2 等差中项及其应用】 【例2】（2023·安徽蚌埠·统考模拟预测）已知等差数列满足，则（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】（2023·四川凉山·三模）在等差数列中，，，则（    ）． A．3 B．5 C．7 D．9 【变式2-2】（2023·全国·校联考模拟预测）已知等差数列的首项，公差，数列满足若也是等差数列，则（    ） A． B． C．1 D．2 【变式2-3】（2023·陕西咸阳·武功县普集高级中学校考模拟预测）已知数列中，，当时，，，成等差数列.若，那么（    ） A． B． C． D． 【题型3 等差数列的性质的应用】 【例3】（2023·全国·模拟预测）已知递增数列是等差数列，若，，则（    ） A．2024 B．2023 C．4048 D．4046 【变式3-1】（2023·全国·模拟预测）已知数列为等差数列，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式3-2】（2023·宁夏石嘴山·平罗中学校考二模）已知等差数列是递增数列，且满足，，则等于（    ） A． B． C． D． 【变式3-3