重难点2-7 数列的求和（九类核心考点题型）　讲义——2024届高三数学二轮复习

重难点2-7 数列的求和（九类核心考点题型）（原卷版） 【考情透析】 高考对数列求和的考查相对稳定，考查内容、频率、题型、难度均变化不大．数列的求和主要考查等差、等比数列的前项和公式及非等差、等比数列的求和方法，其综合性较强．数列求和问题以解答题的形式为主，偶尔出现在选择填空题当中，常结合函数、不等式综合考查． 【题型归类】 核心考点题型一 通项分析法 【例题1】．（2023·云南曲靖一中高三模拟）求和． 【例题2】．（2023·四川成都高三模拟）数列9，99，999，的前项和为　　 A． B． C． D． 【变式1-1】．（2023·陕西榆林高三模拟）数列的前n项和为 . 【变式1-2】．（2023·山西太原高三模拟）年意大利数学家列昂那多斐波那契以兔子繁殖为例，引人“兔子数列”，又称斐波那契数列，即该数列中的数字被人们称为神奇数，在现代物理，化学等领域都有着广泛的应用若此数列各项被除后的余数构成一新数列，则数列的前项的和为 . 核心考点题型二 公式法求数列前n项和 （1）等差数列的前n项和，推导方法：倒序相加法． （2）等比数列的前n项和，推导方法：乘公比，错位相减法． （3）一些常见的数列的前n项和： ①； ②； ③； ④ 【例1】（2023·广东珠海统考模拟预测）已知为等比数列，且，若. （1）求数列的通项公式； （2）若，求数列的前项和. 【例题2】（2023·陕西榆林高三校联考模拟）设正项等比数列且的等差中项为. （1）求数列的通项公式； （2）若，数列的前n项为，数列满足，为数列的前项和，求. 【例题3】（2023·银川一中高三模拟）已知等差数列的前四项和为10，且成等比数列 (1)求通项公式 (2)设，求数列的前项和 【变式2-1】（2023·山西·校考模拟预测）已知等差数列满足. （1）求的通项公式； （2）设数列的前项和为，且，若，求的最小值. 【变式2-2】（2023·湖南长沙统考模拟预测）已知是数列的前项和，，． (1)求数列的通项公式；(2)若，求数列的前项和． 【变式2-3】（2023·四川成都·统考一模）已知首项为的等比数列的前项和为，且成等差数列. （1）求数列的通项公式；（2）求数列的最大项. 核心考点题型三 倒序相加求和 【例题1】（2023秋·辽宁沈阳·高三统考）高斯（Gauss）被认为是历史上最重要的数学家之一，并享有“数学王子”之称．小学进行的求和运算时，他这样算的：，，…，，共有50组，所以，这就是著名的高斯算法，课本上推导等差数列前n项和的方法正是借助了高斯算法．已知正数数列是公比不等于1的等比数列，且，试根据以上提示探求：若，则（    ） A．2023 B．4046 C．2022 D．4044 【例题2】（2023·河北石家庄高三模拟）已知数列的前n项和为，且，设函数，则 ． 【例题3】（2023·江苏连云港中学校考模拟预测）已知数列的项数为，且，则的前n项和为 ． 【变式3-1】（2023·湖北·统考模拟预测）“数学王子”高斯是近代数学奠基者之一，他的数学研究几乎遍及所有领域，并且高斯研究出很多数学理论，比如高斯函数､倒序相加法､最小二乘法､每一个阶代数方程必有个复数解等.若函数，设，则__________. 【变式3-2】（2023秋·四川成都高三校考）已知函数，则______；设数列满足，则此数列的前2023项的和为______. 【变式3-3】（2023秋·河南新乡第一中学校考）已知函数满足，若数列满足，则数列的前16项的和为______. 【变式3-4】（2023·银川一中校考模拟）已知为正项等比数列，且，若函数，则（ ） A．2023 B．2024 C． D．1012 【变式3-5】（2023·山东烟台高三专题检测）设函数，设，． (1)计算的值．(2)求数列的通项公式． 【变式3-6】．（2023·云南曲靖一中高三检测）已知，则 . 核心考点题型四 裂项相消求和 （一）等差型 等差型是裂项相消法中最常见的类型，也是最容易掌握的。设等差数列的各项不为零，公差为，则，另外 常见的类型有： （1） 特别注意 （2） 拓展： （3） 分式的裂项：解答过程通过在分母上“减项”实现了通项的升幂，从而达到把通项裂项的目的。 （4） 如： （5） （6） 整式的裂项：解答过程可以通过“增项”实现了通项的升幂，从而达到将通项进行裂项的目的，具体可使用待定系数法求参数. （7） （8） 【例题1】（2023·四川南充统考一模）已知数列是首项为2的等比数列，公比，且是和的等差中项． （1）求的通项公式； （2）设数列满足，求的前2023项和． 【例题