重难点2-6 数列的通项公式求法（十四类核心考点题型）　讲义——2024届高三数学二轮复习

重难点2-6 数列的通项公式求法（十四类核心考点题型） （原卷版） 【考情透析】 数列的通项公式的求解是高考热点题型，求解方法丰富多彩，是考查学生数学素养的重要载体。 【题型归纳】 核心考点题型一 观察法 已知数列前若干项，求该数列的通项时，一般对所给的项观察分析，寻找规律，从而根据规律写出此数列的一个通项． 【例题1】．（2023秋·新疆喀什·高三统考期末）若数列的前6项为，则数列的通项公式可以为（    ） A． B． C． D． 【例题2】（2023·山东烟台校联考模拟预测）大衍数列，来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理，数列中的每一项都代表太极衍生过程，是中华传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题，其各项规律如下：0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，．．．，记此数列为，则（    ） A．650 B．1050 C．2550 D．5050 【变式1-1】．（2023·甘肃中学校张掖联考二模）已知无穷数列满足，写出满足条件的的一个通项公式：___________.（不能写成分段数列的形式） 【变式1-2】（2023·辽宁统考三模）大衍数列，来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理，数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和，是中华传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题．其前10项依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，则此数列的第25项与第24项的差为（    ） A．22 B．24 C．25 D．26 【变式1-3】．（2023·四川成都模拟预测）将石子摆成如图的梯形形状．称数列为“梯形数”．根据图形的构成，则数列的第项________． 【变式1-4】（2023·河南开封高三期末）某数学兴趣小组模仿“杨辉三角”构造了类似的数阵，将一行数列中相邻两项的乘积插入这两项之间，形成下一行数列，以此类推不断得到新的数列.如图，第一行构造数列1，2；第二行得到数列；第三行得到数列，则第5行从左数起第6个数的值为________.用表示第行所有项的乘积，若数列满足，则数列的通项公式为________. 核心考点题型二 由an与Sn的关系求通项 若已知数列的前n项和Sn与的关系，求数列的通项可用公式 构造两式作差求解．用此公式时要注意结论有两种可能，一种是“一分为二”，即分段式；另一种是“合二为一”，即和合为一个表达，（要先分和两种情况分别进行运算，然后验证能否统一）． 【例题1】．（2023·辽宁大连校考模拟预测）记为数列的前项和，已知，． (1)求的通项公式；(2)证明：． 【例题2】．（2023·山西大同·三模）设正项数列的前n项和为，且，当时，． (1)求数列的通项公式； (2)设数列满足，且，求数列的通项公式． 【例题3】．（2023·陕西统考模拟预测）已知数列满足，等差数列的前n项和为，且． (1)求数列和的通项公式； (2)若，求数列的前n项和． 【变式2-1】．（2023·陕西榆林校联考模拟预测）已知数列的各项均不为0，其前n项和满足，，且. (1)求的通项公式；(2)求数列的前项和. 【变式2-2】．（2023·山东青岛三模）已知为数列的前项和，． (1)求数列的通项公式； (2)设，记的前项和为，证明：． 【变式2-3】．（2023·内蒙古赤峰·校考模拟预测）设是数列的前n项和，且，则下列选项错误的是（ ） A． B． C．数列为等差数列 D．－5050 【变式2-4】．（2023·黑龙江大庆·大庆实验中学校考模拟预测）数列的前项的和为，已知，，当时， (1)求数列的通项公式； (2)设，求的前项和 核心考点三 累加法求通项 形如型的递推数列（其中是关于的函数）可构造： 将上述个式子两边分别相加，可得： ①若是关于的一次函数，累加后可转化为等差数列求和； ② 若是关于的指数函数，累加后可转化为等比数列求和； ③若是关于的二次函数，累加后可分组求和； ④若是关于的分式函数，累加后可裂项求和． 【例题1】．（2024·陕西安康中学校考模拟预测）在数列中，，，则（    ） A． B． C． D． 【例题2】.（2024·福建泉州高三校联考模拟）已知数列满足，且，若，则正整数为（ ） A．13 B．12 C．11 D．10 【例题3】（2024·河南安阳联考模拟）南宋数学家在《详解九章算法》和《算法通变本末》中提出了一些新的垛积公式，所讨论的高阶等差数列与一般等差数