第3章 空间向量及其应用（知识归纳+题型突破）-2023-2024学年高二数学单元速记•巧练（沪教版2020选择性必修第一册）

第3章 空间向量及其应用（知识归纳+题型突破） 题型一 空间向量的有关概念 题型二 空间向量及其加减运算 题型三 空间共线向量定理 题型四 空间共面向量定理 题型五 空间向量的数乘运算 题型六 空间向量的数量积运算 题型八 空间向量运算的坐标表示 题型九 空间中直线的方向向量 题型十 空间向量的应用 题型十一 空间向量及其应用解答综合题 1.空间向量的有关概念 名称 定义 空间向量 在空间中，具有大小和方向的量 相等向量 方向相同且模相等的向量 相反向量 方向相反且模相等的向量 共线向量 (或平行向量) 表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合的向量 共面向量 平行于同一个平面的向量 2.空间向量的有关定理 (1)共线向量定理：对任意两个空间向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使得a＝λb. (2)共面向量定理：如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb. (3)空间向量基本定理：如果三个向量a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量p，存在唯一的有序实数组{x，y，z}，使得p＝xa＋yb＋zc，其中，{a，b，c}叫做空间的一个基底. 3.空间向量的数量积 (1)两向量的夹角：已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作＝a，＝b，则∠AOB叫做向量a与b的夹角，记作〈a，b〉，其范围是[0，π]，若〈a，b〉＝，则称a与b互相垂直，记作a⊥b. (2)两向量的数量积：已知两个非零向量a，b，则|a||b|cos〈a，b〉叫做a，b的数量积，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉. (3)空间向量数量积的运算律 ①结合律：(λa)·b＝λ(a·b)； ②交换律：a·b＝b·a； ③分配律：a·(b＋c)＝a·b＋a·c. 4.空间向量的坐标表示及其应用 设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3). 向量表示 坐标表示 数量积 a·b a1b1＋a2b2＋a3b3 共线 a＝λb(b≠0，λ∈R) a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3 垂直 a·b＝0(a≠0，b≠0) a1b1＋a2b2＋a3b3＝0 模 |a| 夹角 〈a，b〉(a≠0，b≠0) cos〈a，b〉＝ 5.直线的方向向量和平面的法向量 (1)直线的方向向量：如果表示非零向量a的有向线段所在直线与直线l平行或重合，则称此向量a为直线l的方向向量. (2)平面的法向量：直线l⊥α，取直线l的方向向量a，则向量a叫做平面α的法向量. 在空间求平面的法向量的方法： （1）直接法：找一条与平面垂直的直线，求该直线的方向向量。 （2）待定系数法：建立空间直接坐标系 ①设平面的法向量为 ②在平面内找两个不共线的向量和 ③建立方程组： ④解方程组，取其中的一组解即可。 6.空间位置关系的向量表示 位置关系 向量表示 直线l1，l2的方向向量分别为u1，u2 l1∥l2 u1∥u2⇔u1＝λu2 l1⊥l2 u1⊥u2⇔u1·u2＝0 直线l的方向向量为u，平面α的法向量为n l∥α u⊥n⇔u·n＝0 l⊥α u∥n⇔u＝λn 平面α，β的法向量分别为n1，n2 α∥β n1∥n2⇔n1＝λn2 α⊥β n1⊥n2⇔n1·n2＝0 常用结论： 1.在平面中A，B，C三点共线的充要条件是：＝x＋y(其中x＋y＝1)，O为平面内任意一点. 2.在空间中P，A，B，C四点共面的充要条件是：＝x＋y＋z(其中x＋y＋z＝1)，O为空间任意一点. 3.向量的数量积满足交换律、分配律，即a·b＝b·a，a·(b＋c)＝a·b＋a·c成立，但不满足结合律，即(a·b)·c＝a·(b·c)不一定成立. 4.在利用＝x＋y证明MN∥平面ABC时，必须说明M点或N点不在平面ABC内. 7.计算角与距离 1.求两点间的距离公式：若，， 则， 或． 2.求两异面直线所成的角 已知两异面直线，，则异面直线所成的角为： 3.求直线和平面所成的角 已知A,B为直线上任意两点，为平面的法向量，则和平面所成的角为: （1）当时 （2）当时 4.求二面角 （1）已知二面角，且，则二面角的平面角的大小为： （2）已知二面角分别为面的法向量，则二面角的平面角的大小与两个法向量所成的角相等或互补。即 注:如何判断二面角的平面角和法向量所成的角的关系。 (1)通过观察二面角锐角还是钝角,再由法向量的成的角求之。 (2)通过观察法向量的方向,判断法向量所成的角与二面角的平面角相等还是互补。 5.求两条异面直线的距离 已知两条异面直线,是与两直线都垂直的向量,则两条异面直线的距离