专题03 空间向量及其应用全章复习攻略（考点清单，知识导图+14个考点清单&题型解读）-2023-2024学年高二数学下学期期末考点大串讲（沪教版2020选修一）

第3章 空间向量及其应用全章复习攻略（考点清单，知识导图+14个考点清单&题型解读） 一、空间向量的有关概念 1．空间向量 （1）定义：在空间，具有 和 的量叫做空间向量． （2）长度或模：空间向量的 （3）表示方法： ①几何表示法：空间向量用 表示；②字母表示法：用字母a，b，c，…表示；若向量a的起点是A，终点是B，也可记作：，其模记为 2．几类常见的空间向量 名称 方向 模 记法 零向量 单位向量 任意 相反向量 相等 a的相反向量： 的相反向量： 相等向量 相同 a＝b 二、空间向量的线性运算 （1）向量的加法、减法 空间向量的运算 加法 a＋b 减法 a－b 加法运算律 ①交换律：a＋b＝ ②结合律：(a＋b)＋c＝ （2）空间向量的数乘运算 ①定义：实数λ与空间向量a的乘积λa仍然是一个 ，称为向量的数乘运算． 当λ>0时，λa与向量a方向 ； 当λ<0时，λa与向量a方向 ； 当λ＝0时，λa＝ ；λa的长度是a的长度的 倍． ②运算律 a．结合律：λ(μa)＝ ＝ b．分配律：(λ＋μ)a＝ ，λ(a＋b)＝ ． 三、共线问题 共线向量： （1）定义：表示若干空间向量的有向线段所在的直线 ，则这些向量叫做 或平行向量． （2）方向向量：在直线l上取非零向量a，与向量a 的非零向量称为直线l的方向向量． 规定：零向量与任意向量平行，即对任意向量a，都有0∥a． （3）共线向量定理：对于空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ使 （4）如图，O是直线l上一点，在直线l上取非零向量a，则对于直线l上任意一点P，由数乘向量定义及向量共线的充要条件可知，存在实数λ，使得＝λa． 四、向量共面问题 共面向量： （1）定义：平行于 的向量叫做共面向量． （2）共面向量定理：若两个向量a，b不共线，则向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使 （3）空间一点P位于平面ABC内的充要条件：存在有序实数对(x，y)，使或对空间任意一点O，有． 五、空间向量数量积的运算 空间向量的数量积： （1）定义：已知两个非零向量a，b，则 叫做a，b的数量积，记作a·b．即a·b＝ 规定：零向量与任何向量的数量积为 ． （2）常用结论(a，b为非零向量) ①a⊥b⇔ ②a·a＝ ＝ ③cos〈a，b〉＝． （3）数量积的运算律 数乘向量与数量积的结合律 (λa)·b＝λ ＝a· 交换律 a·b＝ 分配律 a·(b＋c)＝ 六、垂直问题、夹角问题、距离问题 当时，．夹角公式： ，向量的模： 七、空间向量基本定理及相关概念的理解 空间向量基本定理： 如果空间中的三个向量a，b，c ，那么对空间中的任意一个向量p，存在 的有序实数组 (x，y，z)，使得p=xa+yb+zc.其中，空间中不共面的三个向量a，b，c组成的集合{a，b，c}，常称为空间向量的一组基底.此时，a，b，c都称为基向量；如果p=xa+yb+zc，则称xa+yb+zc为p在基底{a，b，c}下的分解式. 八、空间向量的正交分解 单位正交基底：如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都为1，那么这个基底叫做单位正交基底，常用 表示. 正交分解：把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行正交分解. 九、用空间向量基本定理解决相关的几何问题 1. 用已知向量表示某一向量的三个关键点： (1)用已知向量来表示某一向量，一定要结合图形，以图形为指导是解题的关键． (2)要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义，如首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量． (3)在立体几何中三角形法则、平行四边形法则仍然成立 十、空间直角坐标系 1.求空间点的坐标：在空间直角坐标系中，i，j，k为坐标向量，对空间任一点A，对应一个向量，且点A的位置由向量唯一确定，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使＝ ，则 叫做点A在空间直角坐标系中的坐标．记作 ，其中 叫点A的横坐标， 叫做点A的纵坐标， 叫做点A的竖坐标. 2.空间向量的坐标表示： （1）若则. （2）在空间直角坐标系中，给定向量a.由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使a＝ ，则 叫做a在空间直角坐标系中的坐标，简记作 . 3. 求对称点的坐标 在空间直角坐标系中，任一点P(a，b，c)的几种特殊的对称点的坐标如下： 对称轴或对称中心 对称点坐标 P(a，b，c) x轴 (a，－b，－c) y轴 (－a，b，－c) z轴 (－a，－b，c) xOy平面 (a，b，－c) yOz平面 (－a，b，c) xOz平面 (a，－b，c) 坐标原点 (－a，－b，－c) 十一、空间向量线性运算的坐标表示 空间向量坐标运算 设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，空间向量的坐标运算法则如下表所示： 运算 坐标表示 加法 a＋b＝ 减法 a－b＝ 数乘 λa＝ 数量积 a·b＝ 十二、空间向量的平行与垂直 空间向量的平行、垂直的坐标表示 设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则 平行(a∥b) a∥b(b≠0)⇔a＝λb⇔ 垂直(a⊥b) a⊥b⇔a·b＝0⇔ (a，b均为非零向量) 十三、空间向量的长度与夹角 空间向量的夹角与长度问题 设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则 模 |a|＝＝ 夹角公式 cos〈a，b〉＝＝ 十四、空间中点、直线和平面的向量表示 空间图形 向量表示 图形表示 点 在空间中，取一定点O作为基点，那么空间中任意一点P就可以用向量来表示．我们把向量称为点P的位置向量. 直线 点A是直线l上的一个点，a是直线l的方向向量，在直线l上取＝a，取定空间中的任意一点O，则点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使或，这就是空间直线的向量表达式. 平面 取定空间任意一点O，空间一点P位于平面ABC内的充要条件是存在实数x，y，使，这个式子称为空间平面ABC的向量表示式. 平面 的法 向量 直线l⊥α，取直线l的方向向量a，我们称向量为平面α的法向量．给定一个点A和一个向量a，那么过点A，且以向量为法向量的平面完全确定，可以表示为集合 . 十五、空间中直线与平面、平面与平面的平行 位置关系 向量表示 图形表示 线线平行 设u1，u2分别是不重合的直线l1，l2的方向向量，则l1∥l2⇔ ⇔ . 线面平行 设u是直线l的方向向量，n是平面α的法向量，l⊄α，则l∥α⇔ ⇔ 面面平行 设n1，n2分别是不重合的平面α，β的法向量，则α∥β⇔ ⇔ 十六、 空间中直线与平面、平面与平面的垂直 位置关系 向量表示 图形表示 线线垂直 设直线l1，l2的方向向量分别为u1，u2，则l1⊥l2⇔ ⇔ 线面垂直 设直线l的方向向量为u，平面α的法向量为n，则l⊥α⇔ ⇔ 面面垂直 设平面α，β的法向量分别为n1，n2，则α⊥β ⇔ ⇔ 十七、用空间向量研究距离与夹角问题 分类 向量求法 两点距 设A、B为空间中的任意两点，则d＝ 点线距 设直线l的单位方向向量为u，A∈l，P∉l，设，则点P到直线l的距离 . 点面距 已知平面α的法向量为n，A∈α，P∉α，则点P到平面α的距离为 . 角的分类 向量求法 范围 两异面直线l1与l2所成的角为θ 设l1与l2的方向向量分别为u，v，则cosθ＝|cos<u，v>|＝ 直线l与平面α所成的角为θ 设l的方向向量为u，平面α的法向量为n，则sin θ＝|cos<u，n>|＝ 平面α与平面β的夹角为θ 设平面α，β的法向量分别为n1，n2，则cos θ＝ ＝ 一．空间向量及其线性运算（共3小题） 1．（2023春•杨浦区期末）在长方体中，与相等的向量是　　 A． B． C． D． 2．（2024春•徐汇区校级期中）《九章算术》中的“商功“篇主要讲述了以立体几何为主的各种形体体积的计算，其中堑堵是指底面为直角三角形的直棱柱．如图，在堑堵中，是的中点，，，，若，则　　． 3．（2023秋•普陀区校级期中）已知是棱长为1的正四面体．若点满足，其中，则的最小值为 　　． 二．共线向量与共面向量（共4小题） 4．（2024•黄浦区校级三模）已知空间向量，，共面，则实数　　． 5．（2024春•徐汇区校级期中）在空间直角坐标系中，已知点，3，，，1，，，，，，1，，若，，，四点共面，则　　． 6．（2023春•杨浦区校级期中）设，，若向量与向量平行，则　　． 7．（2023春•浦东新区期末）已知，． （1）若，求的值； （2）若，求实数的值． 三．空间向量的数量积运算（共3小题） 8．（2024春•浦东新区校级月考）由四个棱长为1的正方体组合成的正四棱柱（如图所示），点是正方形的中心，则向量　　 A．1 B．2 C．4 D．8 9．（2024春•宝山区校级期中）已知．则　　． 10．（2024春•宝山区校级期中）已知空间向量与夹角为钝角，则实数的取值范围为 　　． 四．空间向量的夹角与距离求解公式（共3小题） 11．（2021春•普陀区校级期末）设空间向量，2，，，，，若，则　　． 12．（2023秋•奉贤区校级月考）如图，正三棱柱中，底面边长为． （1）设侧棱长为1，求证：； （2）设与的夹角为，求侧棱的长． 13．（2023秋•浦东新区校级期中）三棱柱中，、分别是、上的点，且，．设，，． （Ⅰ）试用表示向量； （Ⅱ）若，，，求的长． 五．空间向量基本定理、正交分解及坐标表示（共4小题） 14．（2023秋•浦东新区校级期末）已知四面体，是的重心，若，则　　 A．4 B． C． D． 15．（2023秋•徐汇区校级期中）如图，在平行六面体中，为，的交点．若，，，则向量　　 A． B． C． D． 16．（2023秋•长宁区校级期末）在以下命题中，正确的命题有　　 A．若，则是钝角 B．若，则存在唯一的实数，使 C．对空间任意一点和不共线的三点，，，若，则，，，四点共面 D．若为空间的一个基底，则构成空间的另一个基底 17．（2024春•闵行区校级月考）如图所示，已知空间四边形，其对角线为，，，分别为，的中点，点在线段上，且，若，则　　． 六．空间向量运算的坐标表示（共3小题） 18．（2023秋•崇明区校级期末）已知向量，，则　　 A．，0， B．，16， C．，， D．，0， 19．（2023秋•闵行区校级期末）已知向量，则向量的坐标为 　　． 20．（2022秋•嘉定区校级期中）已知空间直角坐标系中，，1，，，3，，，2，． （1）若，求的坐标； （2）求三角形的面积． 七．向量的数量积判断向量的共线与垂直（共3小题） 21．（2024•崇明区二模）已知向量，，，，1，，若，则　　． 22．（2023秋•宝山区校级期末）已知向量，，且与互相垂直，则　　． 23．（2023秋•浦东新区校级期中）设、，向量，，，且，，则的值为 　　． 八．直线的方向向量、空间直线的向量参数方程（共3小题） 24．（2023秋•碑林区校级期末）直线的一个法向量　　． 25．（2022秋•市中区校级期末）直线的一个方向向量是 　　． 26．（2021春•浦东新区校级期末）直线的一个法向量为，则实数　　． 九．平面的法向量（共3小题） 27．（2023秋•闵行区校级期末）若直线的方向向量为，平面的法向量为，能使的是　　 A．， B．， C．， D．， 28．（2023秋•闵行区校级期末）设直线的一个方向向量，2，，平面的一个法向量，8，，则直线与平面的位置关系是 　　． 29．（2023秋•杨浦区校级期末）已知平面的一个法向量，直线的方向向量，则直线与平面所成角的正弦值为 　　． 一十．直线与平面所成的角（共9小题） 30．（2024春•虹口区校级期中）如图，在正方体中，是棱的中点，是侧面上的动点，且平面．设与平面所成的角为，与所成的角为，那么下列结论正确的是　　 A．的最小值为，的最小值为 B．的最大徝为，的最大值为 C．的最小值大于，的最小值大于 D．的最大值小于，的最大值小于 31．（2024•黄浦区校级三模）如图，点是棱长为2的正方体表面上的一个动点，直线与平面所成的角为，则点的轨迹长度为　　 A． B． C． D． 32．（2024春•杨浦区校级月考）设直线与平面所成角为，给出下列命题：（1）平面上不存在直线，使之与所成角小于；（2）设，平面上恰有两条直线与所成角均为；（3）若直线，则直线与所成角大小为；其中真命题的序号为 　　． 33．（2024春•宝山区校级月考）如图，正直三棱柱中，，，是的中点，是的中点． （1）证明：直线直线 （2）求直线与平面所成的角的大小． 34．（2024•松江区校级模拟）如图，在圆锥中，是圆锥的顶点，是圆锥底面圆的圆心，是圆锥底面圆的直径，等边三角形是圆锥底面圆的内接三角形，是圆锥母线的中点，，． （1）求证：平面； （2）设线段与交于点，求直线与平面所成角的正弦值． 35．（2024•普陀区模拟）如图，在四棱锥中，底面是边长为1的正方形，，、分别是、的中点． （1）求证：平面； （2）若二面角的大小为，求直线与平面所成角的大小． 36．（2024春•宝山区校级期中）已知三棱锥中，平面，，，为上一点且满足，，分别为，的中点． （1）求证：； （2）求直线与平面所成角的大小． 37．（2024春•杨浦区校级期中）在四棱锥中，底面，，，，． （1）证明：； （2）求与平面所成的角的余弦值． 38．（2024春•虹口区校级期中）如图，圆锥的底面半径为3，圆锥的表面积为． （1）求圆锥的体积； （2）设，是底面圆周上的两点，且平面平面，求直线与平面所成角的正弦值． 一十一．二面角的平面角及求法（共11小题） 39．（2024•浦东新区三模）边长都是为1的正方形和正方形所在的两个半平面所成的二面角为，、分别是对角线、上的动点，且，则的取值范围是　　 A． B． C． D． 40．（2024春•长宁区校级月考）已知结论：椭圆的面积为．如图，一个平面斜截一个足够高的圆柱，与圆柱侧面相交的图形为椭圆．若圆柱底面圆半径为，平面与圆柱底面所成的锐二面角大小为，则下列对椭圆的描述中，错误的是　　 A．短轴为，且与大小无关 B．离心率为，且与大小无关 C．焦距为 D．面积为 41．（2023秋•长宁区校级期末）已知平面与所成二面角为，为，外一定点，过点的直线与，所成的角都是，则这样的直线有且仅有　　条． 42．（2024•浦东新区校级模拟）如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，平面底面，为的中点，是棱上的点，，，． （1）求证：平面平面； （2）设，若二面角的平面角的大小为，试确定的值． 43．（2024•黄浦区校级三模）如图，在四棱锥中，已知底面为矩形，侧面是正三角形，侧面底面，是棱的中点，． （1）证明：平面； （2）若二面角为，求异面直线与所成角的正切值． 44．（2024春•黄浦区校级期中）四棱锥中，平面，底面是正方形，，点是棱上一点． （1）求证：平面平面； （2）当为中点时，求二面角的正弦值． 45．（2024春•虹口区校级期中）如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面，为上的中点． （1）求证：平面； （2）设，求二面角的大小． 46．（2024春•黄浦区校级期中）如图，在四棱锥中，平面平面，，，，为棱的中点． （Ⅰ）证明：平面； （Ⅱ）若，， 求二面角的余弦值； 在线段上是否存在点，使得点到平面的距离是？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 47．（2024•闵行区二模）如图，已知为等腰梯形，，，平面，． （1）求证：； （2）求二面角的大小． 48．（2024•普陀区校级开学）如图，在底面为菱形的直四棱柱中，，，，分别是，，的中点． （1）求证：； （2）求平面与平面所成夹角的大小． 49．（2024春•宝山区校级月考）如图，在长方体中，点、分别在、上，且，． （1）求证：平面； （2）设，，，求平面与平面所成的锐二面角的大小． 一十二．向量语言表述线线的垂直、平行关系（共1小题） 50．（2023秋•崇明区校级期末）在如图所示的几何体中，面，面，，，为 的中点．（1）证明：；（2）求直线和平面所成角的正弦值． 一十三．向量语言表述面面的垂直、平行关系（共1小题） 51．（2023秋•徐汇区校级期中）已知分别是平面，的法向量，且，则　　． 一十四．向量方法证明线、面的位置关系定理（共1小题） 52．（2023秋•奉贤区期中）如图，为正方体，动点在对角线上，记．当为钝角时，的取值范围为 　　． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第3章 空间向量及其应用全章复习攻略（考点清单，知识导图+14个考点清单&题型解读） 一、空间向量的有关概念 1．空间向量 （1）定义：在空间，具有大小和方向的量叫做空间向量． （2）长度或模：空间向量的大小． （3）表示方法： ①几何表示法：空间向量用有向线段表示；②字母表示法：用字母a，b，c，…表示；若向量a的起点是A，终点是B，也可记作：，其模记为|a|或． 2．几类常见的空间向量 名称 方向 模 记法 零向量 任意 0 0 单位向量 任意 1 相反向量 相反 相等 a的相反向量：－a 的相反向量： 相等向量 相同 相等 a＝b 二、空间向量的线性运算 （1）向量的加法、减法 空间向量的运算 加法 a＋b 减法 a－b 加法运算律 ①交换律：a＋b＝b＋a ②结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c) （2）空间向量的数乘运算 ①定义：实数λ与空间向量a的乘积λa仍然是一个向量，称为向量的数乘运算． 当λ>0时，λa与向量a方向相同； 当λ<0时，λa与向量a方向相反； 当λ＝0时，λa＝0；λa的长度是a的长度的|λ|倍． ②运算律 a．结合律：λ(μa)＝μ(λa)＝(λμ)a． b．分配律：(λ＋μ)a＝λa＋μa，λ(a＋b)＝λa＋λb． 三、共线问题 共线向量： （1）定义：表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量． （2）方向向量：在直线l上取非零向量a，与向量a平行的非零向量称为直线l的方向向量． 规定：零向量与任意向量平行，即对任意向量a，都有0∥a． （3）共线向量定理：对于空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ使a＝λb． （4）如图，O是直线l上一点，在直线l上取非零向量a，则对于直线l上任意一点P，由数乘向量定义及向量共线的充要条件可知，存在实数λ，使得＝λa． 四、向量共面问题 共面向量： （1）定义：平行于同一个平面的向量叫做共面向量． （2）共面向量定理：若两个向量a，b不共线，则向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝x a＋y b． （3）空间一点P位于平面ABC内的充要条件：存在有序实数对(x，y)，使或对空间任意一点O，有． 五、空间向量数量积的运算 空间向量的数量积： （1）定义：已知两个非零向量a，b，则|a||b|cos〈a，b〉叫做a，b的数量积，记作a·b．即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉． 规定：零向量与任何向量的数量积为0． （2）常用结论(a，b为非零向量) ①a⊥b⇔a·b＝0． ②a·a＝|a||a|cos〈a，a〉＝|a|2． ③cos〈a，b〉＝． （3）数量积的运算律 数乘向量与数量积的结合律 (λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb) 交换律 a·b＝b·a 分配律 a·(b＋c)＝a·b＋a·c 六、垂直问题、夹角问题、距离问题 当时，．夹角公式： ，向量的模： 七、空间向量基本定理及相关概念的理解 空间向量基本定理： 如果空间中的三个向量a，b，c不共面，那么对空间中的任意一个向量p，存在唯一的有序实数组 (x，y，z)，使得p=xa+yb+zc.其中，空间中不共面的三个向量a，b，c组成的集合{a，b，c}，常称为空间向量的一组基底.此时，a，b，c都称为基向量；如果p=xa+yb+zc，则称xa+yb+zc为p在基底{a，b，c}下的分解式. 八、空间向量的正交分解 单位正交基底：如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都为1，那么这个基底叫做单位正交基底，常用 表示. 正交分解：把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行正交分解. 九、用空间向量基本定理解决相关的几何问题 1. 用已知向量表示某一向量的三个关键点： (1)用已知向量来表示某一向量，一定要结合图形，以图形为指导是解题的关键． (2)要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义，如首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量． (3)在立体几何中三角形法则、平行四边形法则仍然成立 十、空间直角坐标系 1.求空间点的坐标：在空间直角坐标系中，i，j，k为坐标向量，对空间任一点A，对应一个向量，且点A的位置由向量唯一确定，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使＝xi＋yj＋zk，则(x，y，z)叫做点A在空间直角坐标系中的坐标．记作A(x，y，z)，其中x叫点A的横坐标，y叫做点A的纵坐标，z叫做点A的竖坐标. 2.空间向量的坐标表示： （1）若则. （2）在空间直角坐标系中，给定向量a.由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使a＝xi＋yj＋zk，则(x，y，z)叫做a在空间直角坐标系中的坐标，简记作a＝(x，y，z). 3. 求对称点的坐标 在空间直角坐标系中，任一点P(a，b，c)的几种特殊的对称点的坐标如下： 对称轴或对称中心 对称点坐标 P(a，b，c) x轴 (a，－b，－c) y轴 (－a，b，－c) z轴 (－a，－b，c) xOy平面 (a，b，－c) yOz平面 (－a，b，c) xOz平面 (a，－b，c) 坐标原点 (－a，－b，－c) 十一、空间向量线性运算的坐标表示 空间向量坐标运算 设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，空间向量的坐标运算法则如下表所示： 运算 坐标表示 加法 a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3) 减法 a－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3) 数乘 λa＝(λa1，λa2，λa3)，λ∈R 数量积 a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3 十二、空间向量的平行与垂直 空间向量的平行、垂直的坐标表示 设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则 平行(a∥b) a∥b(b≠0)⇔a＝λb⇔ 垂直(a⊥b) a⊥b⇔a·b＝0⇔a1b1＋a2b2＋a3b3＝0(a，b均为非零向量) 十三、空间向量的长度与夹角 空间向量的夹角与长度问题 设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则 模 |a|＝＝ 夹角公式 cos〈a，b〉＝＝ 十四、空间中点、直线和平面的向量表示 空间图形 向量表示 图形表示 点 在空间中，取一定点O作为基点，那么空间中任意一点P就可以用向量来表示．我们把向量称为点P的位置向量. 直线 点A是直线l上的一个点，a是直线l的方向向量，在直线l上取＝a，取定空间中的任意一点O，则点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使或，这就是空间直线的向量表达式. 平面 取定空间任意一点O，空间一点P位于平面ABC内的充要条件是存在实数x，y，使，这个式子称为空间平面ABC的向量表示式. 平面 的法 向量 直线l⊥α，取直线l的方向向量a，我们称向量为平面α的法向量．给定一个点A和一个向量a，那么过点A，且以向量为法向量的平面完全确定，可以表示为集合 . 十五、空间中直线与平面、平面与平面的平行 位置关系 向量表示 图形表示 线线平行 设u1，u2分别是不重合的直线l1，l2的方向向量，则l1∥l2⇔u1∥u2⇔∃λ∈R，使得u1＝λu2. 线面平行 设u是直线l的方向向量，n是平面α的法向量，l⊄α，则l∥α⇔u⊥n⇔u·n＝0. 面面平行 设n1，n2分别是不重合的平面α，β的法向量，则α∥β⇔n1∥n2⇔∃λ∈R，使得n1＝λn2. 十六、 空间中直线与平面、平面与平面的垂直 位置关系 向量表示 图形表示 线线垂直 设直线l1，l2的方向向量分别为u1，u2，则l1⊥l2⇔u1⊥u2⇔u1·u2＝0. 线面垂直 设直线l的方向向量为u，平面α的法向量为n，则l⊥α⇔u∥n⇔∃λ∈R，使得u＝λn. 面面垂直 设平面α，β的法向量分别为n1，n2，则α⊥β ⇔n1⊥n2⇔n1·n2＝0. 十七、用空间向量研究距离与夹角问题 分类 向量求法 两点距 设A、B为空间中的任意两点，则d＝|AB| 点线距 设直线l的单位方向向量为u，A∈l，P∉l，设，则点P到直线l的距离 . 点面距 已知平面α的法向量为n，A∈α，P∉α，则点P到平面α的距离为 . 角的分类 向量求法 范围 两异面直线l1与l2所成的角为θ 设l1与l2的方向向量分别为u，v，则cosθ＝|cos<u，v>|＝ 直线l与平面α所成的角为θ 设l的方向向量为u，平面α的法向量为n，则sin θ＝|cos<u，n>|＝ 平面α与平面β的夹角为θ 设平面α，β的法向量分别为n1，n2，则cos θ＝|cos<n1，n2>|＝ 一．空间向量及其线性运算（共3小题） 1．（2023春•杨浦区期末）在长方体中，与相等的向量是　　 A． B． C． D． 【分析】直接利用相等向量的定义即可求解． 【解答】解：与相等的向量有3个， 分别是，，． 故选：． 【点评】本题考查了相等向量，属于基础题． 2．（2024春•徐汇区校级期中）《九章算术》中的“商功“篇主要讲述了以立体几何为主的各种形体体积的计算，其中堑堵是指底面为直角三角形的直棱柱．如图，在堑堵中，是的中点，，，，若，则　　． 【分析】根据已知条件，结合空间向量的线性运算，即可求解． 【解答】解：由图可知：， 又因为， 所以， 所以， 所以， 所以，． 故答案为：． 【点评】本题主要考查空间向量的线性运算，属于基础题． 3．（2023秋•普陀区校级期中）已知是棱长为1的正四面体．若点满足，其中，则的最小值为 　　． 【分析】根据题中的向量等式及，得出，从而可得点是平面内的一点．再由正四面体棱长为1，得到的最小值为正四面体在底面上的高，从而可得的最小值． 【解答】解：根据题意，点满足，其中， 所以， 可得， 因为点是平面内的一点，又正四面体棱长为1， 所以当点与在上的射影重合时，等于正四面体的高， 此时且达到最小值． 故答案为：． 【点评】考查了空间向量的线性运算、正四面体的性质等知识，属中档题． 二．共线向量与共面向量（共4小题） 4．（2024•黄浦区校级三模）已知空间向量，，共面，则实数　3　． 【分析】根据已知条件，结合空间向量的共面定理，即可求解． 【解答】解：，，共面， 则存在实数，使得，，即，解得． 故答案为：3． 【点评】本题主要考查空间向量的共面定理，属于基础题． 5．（2024春•徐汇区校级期中）在空间直角坐标系中，已知点，3，，，1，，，，，，1，，若，，，四点共面，则　1　． 【分析】利用平面向量基本定理，列出关系式，利用向量的坐标运算得出关系式，即可求解 【解答】解：，3，，，1，，，，，，1，， ，，， 又，，，四点共面， 由平面向量基本定理可知存在实数，使成立， ，，，，，，， ，解得． 故答案为：1． 【点评】本题主要考查共线向量与共面向量，属于基础题． 6．（2023春•杨浦区校级期中）设，，若向量与向量平行，则　　． 【分析】利用向量平行的性质直接求解． 【解答】解：向量与向量平行， ， 解得，， ． 故答案为：． 【点评】本题考查实数值的求法，考查向量平行的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 7．（2023春•浦东新区期末）已知，． （1）若，求的值； （2）若，求实数的值． 【分析】（1）利用空间向量夹角公式的坐标运算直接求解；（2）根据两向量的共线定理，利用坐标运算求解． 【解答】解：（1）由已知可得，， ． （2），， ，存在实数使得， ，，，联立解得． 【点评】本题空间向量夹角公式以及向量的共线定理，属于中档题． 三．空间向量的数量积运算（共3小题） 8．（2024春•浦东新区校级月考）由四个棱长为1的正方体组合成的正四棱柱（如图所示），点是正方形的中心，则向量　　 A．1 B．2 C．4 D．8 【分析】根据数量积的几何意义即可求解． 【解答】解：由正四棱柱性质可知，向量在上的投影向量为， 由数量积的几何意义可知，． 故选：． 【点评】本题考查的知识点：向量的数量积运算，主要考查学生的运算能力，属于基础题． 9．（2024春•宝山区校级期中）已知．则　　． 【分析】直接利用向量的坐标运算和数量积运算求出结果． 【解答】解：由于．则，， 所以． 故答案为：． 【点评】本题考查的知识点：向量的坐标运算，向量的数量积运算，主要考查学生的运算能力，属于基础题． 10．（2024春•宝山区校级期中）已知空间向量与夹角为钝角，则实数的取值范围为 　，，　． 【分析】直接利用向量的夹角运算求出结果． 【解答】解：由于空间向量与夹角为钝角， 故，且， 解得且； 故实数的取值范围为，，． 故答案为：，，． 【点评】本题考查的知识点：向量的坐标运算，向量的夹角运算，主要考查学生的运算能力，属于基础题． 四．空间向量的夹角与距离求解公式（共3小题） 11．（2021春•普陀区校级期末）设空间向量，2，，，，，若，则　9　． 【分析】先利用空间向量共线定理，得到，由此求出和的值，得到的坐标，求出的坐标，再利用向量模的计算公式求解即可． 【解答】解：因为空间向量，2，，，，，且， 所以， 即，，，2，， 可得，解得，， 所以，2，，，，， 则，6，， 所以． 故答案为：9． 【点评】本题考查了空间向量的坐标运算，空间向量共线定理的运用，空间向量模的计算公式的运用，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于基础题． 12．（2023秋•奉贤区校级月考）如图，正三棱柱中，底面边长为． （1）设侧棱长为1，求证：； （2）设与的夹角为，求侧棱的长． 【分析】（1）推导出，，由平面，为正三角形，得到，．从而，由此能证明． （2）推导出，，，从而，，由此能求出侧棱长． 【解答】证明：（1），． 因为平面， 所以，． 又为正三角形， 所以，，． 因为 ， ， 所以． 解：（2）由（1）知，． 又， 所以，， 所以， 即侧棱长为2． 【点评】本题考查线线垂直的证明，考查正三棱柱的侧棱长的求法，考查空间向量的夹角与距离等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查函数与方程思想、数形结合思想，是中档题． 13．（2023秋•浦东新区校级期中）三棱柱中，、分别是、上的点，且，．设，，． （Ⅰ）试用表示向量； （Ⅱ）若，，，求的长． 【分析】（Ⅰ）由图形知再用表示出来即可． （Ⅱ）求的长，即求，利用求向量模的方法，求即可求得的长． 【解答】解：（Ⅰ）由图形知． （Ⅱ）由题设条件 ， ，． 【点评】本题考查空间向量的夹角与距离公式，解题的关键是掌握向量加法法则与空间向量求线段长度的公式，空间向量法求距离是空间向量的一个非常重要的运用．熟练运用公式是解题的知识保证． 五．空间向量基本定理、正交分解及坐标表示（共4小题） 14．（2023秋•浦东新区校级期末）已知四面体，是的重心，若，则　　 A．4 B． C． D． 【分析】取的中点，根据空间向量线性运算法则及空间向量基本定理计算可得． 【解答】解：因为四面体，是的重心，若， 取的中点， 所以 ， 又， 可得，所以． 故选：． 【点评】本题考查空间向量的基本定理，属于基础题． 15．（2023秋•徐汇区校级期中）如图，在平行六面体中，为，的交点．若，，，则向量　　 A． B． C． D． 【分析】向量，由此能求出结果． 【解答】解：在平行六面体中，为，的交点． ，，， 向量 ． 故选：． 【点评】本题考查向量的求法，考查空间向量加法法则等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题． 16．（2023秋•长宁区校级期末）在以下命题中，正确的命题有　　 A．若，则是钝角 B．若，则存在唯一的实数，使 C．对空间任意一点和不共线的三点，，，若，则，，，四点共面 D．若为空间的一个基底，则构成空间的另一个基底 【分析】对于选项考虑共线反向的情况；选项考虑有一个向量是零向量的情况；选项和利用向量共面的条件证明即可． 【解答】解：对于，若共线且反向时，，但是平角，故错误； 对于，若，则，但不存在实数，使，故错误； 对于，对空间任意一点和不共线的三点，，，若，，，四点共面，可设， 则， 整理， 因为， 所以，，，四点共面，故正确； 对于，假设共面，设， 因为为空间的一个基底，可得，该方程组无解， 假设不成立，故正确． 故选：． 【点评】本题考查的知识要点：向量的线性运算，共面向量，共线向量，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题． 17．（2024春•闵行区校级月考）如图所示，已知空间四边形，其对角线为，，，分别为，的中点，点在线段上，且，若，则　　． 【分析】因为，由减法法则得，整理得．又由为中点，为中点，得，，代入化简即可． 【解答】解：因为，所以，所以． 因为为中点，所以， 因为为中点，所以， 所以，则． 故选：． 【点评】本题考查向量的线性运算，属于基础题． 六．空间向量运算的坐标表示（共3小题） 18．（2023秋•崇明区校级期末）已知向量，，则　　 A．，0， B．，16， C．，， D．，0， 【分析】利用空间向量的坐标运算求解即可． 【解答】解：若向量，， 则，2，，4，，0，， 故选：． 【点评】本题考查空间向量的坐标运算，属于基础题． 19．（2023秋•闵行区校级期末）已知向量，则向量的坐标为 　，0，　． 【分析】根据向量坐标运算法则即可求解． 【解答】解：由题意可知， ． 故答案为：，0，． 【点评】本题考查向量坐标运算法则等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 20．（2022秋•嘉定区校级期中）已知空间直角坐标系中，，1，，，3，，，2，． （1）若，求的坐标； （2）求三角形的面积． 【分析】（1）直接利用向量的共线求出点的坐标； （2）利用向量的夹角公式和向量的模及三角形的面积公式求出结果． 【解答】解：（1）设点，，，由于，所以，，．，， 整理得：． （2）由于，1，，，3，，，2，． 所以，， 故，由于，所以， 故． 【点评】本题考查的知识要点：空间向量的坐标的求法，向量的模，向量的夹角，三角形的面积公式，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题． 七．向量的数量积判断向量的共线与垂直（共3小题） 21．（2024•崇明区二模）已知向量，，，，1，，若，则　　． 【分析】根据已知条件，结合向量垂直的性质，即可求解． 【解答】解：向量，，，，1，，， 则，解得． 故答案为：． 【点评】本题主要考查向量垂直的性质，属于基础题． 22．（2023秋•宝山区校级期末）已知向量，，且与互相垂直，则　　． 【分析】根据题意，求出向量与的坐标，由空间向量数量积的计算公式可得，解可得答案． 【解答】解：根据题意，向量，，则，，，，2，， 若与互相垂直，则， 解可得：， 故答案为：． 【点评】本题考查向量垂直的判断，涉及空间向量的坐标计算，属于基础题． 23．（2023秋•浦东新区校级期中）设、，向量，，，且，，则的值为 　　． 【分析】利用向量与向量垂直、向量与向量平行的性质列出方程组，求出，，由此能求出的值． 【解答】解：设、，向量，，，且，， ， 解得，， ． 故答案为：． 【点评】本题考查实数值的求法，考查向量垂直、向量平行的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 八．直线的方向向量、空间直线的向量参数方程（共3小题） 24．（2023秋•碑林区校级期末）直线的一个法向量　（答案不唯一）　． 【分析】根据给定直线方程求出其方向向量，再由法向量的意义求解作答． 【解答】解：直线 的方向向量为，而， 所以直线 的一个法向量． 故答案为：（答案不唯一）． 【点评】本题考查了直线的方向向量，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题． 25．（2022秋•市中区校级期末）直线的一个方向向量是 　　． 【分析】可根据直线上的任意两点的坐标写出直线的一个方向向量． 【解答】解：由直线，可得直线的斜率， 故直线的一个方向向量为， 故答案为：． 【点评】本题考查直线的方向向量问题，是一道基础题． 26．（2021春•浦东新区校级期末）直线的一个法向量为，则实数　6　． 【分析】先求出直线的方向向量，然后利用法向量与方向向量垂直，由向量垂直的坐标表示列出关于的方程，求解即可． 【解答】解：因为直线的一个法向量为， 又直线的一个方向向量为， 所以， 解得． 故答案为：6． 【点评】本题考查了空间向量的理解与应用，空间向量垂直的坐标表示，直线的方向向量与直线的法向量的理解与应用，考查了运算能力与逻辑推理能力，属于基础题． 九．平面的法向量（共3小题） 27．（2023秋•闵行区校级期末）若直线的方向向量为，平面的法向量为，能使的是　　 A．， B．， C．， D．， 【分析】利用直线的方向向量、平面的法向量、直线与平面平行的性质求解． 【解答】解：直线的方向向量为，平面的法向量为， 对于，，不成立，故错误； 对于，，，故正确； 对于，，不成立，故错误； 对于，，不成立，故错误． 故选：． 【点评】本题考查直线的方向向量、平面的法向量、直线与平面平行的性质等知识，考查运算求解能力，是基础题． 28．（2023秋•闵行区校级期末）设直线的一个方向向量，2，，平面的一个法向量，8，，则直线与平面的位置关系是 　或　． 【分析】根据题意，由空间向量数量积的计算公式可得，即，由此分析可得答案． 【解答】根据题意，直线的一个方向向量，2，，平面的一个法向量，8，， 则，即，则有或； 故答案为：或． 【点评】本题考查空间向量的应用，涉及平面法向量的定义，属于基础题． 29．（2023秋•杨浦区校级期末）已知平面的一个法向量，直线的方向向量，则直线与平面所成角的正弦值为 　　． 【分析】利用直线与平面所成角的空间向量坐标公式计算可得结果． 【解答】解：由已知，平面的一个法向量，直线的方向向量， 设直线与平面所成角为， 则，． 故答案为：． 【点评】本题考查空间向量的坐标运算，考查直线与平面所成角，考查学生计算能力，属于基础题． 一十．直线与平面所成的角（共9小题） 30．（2024春•虹口区校级期中）如图，在正方体中，是棱的中点，是侧面上的动点，且平面．设与平面所成的角为，与所成的角为，那么下列结论正确的是　　 A．的最小值为，的最小值为 B．的最大徝为，的最大值为 C．的最小值大于，的最小值大于 D．的最大值小于，的最大值小于 【分析】根据题意，先找出点的轨迹，构造出，，再分析极端位置的情况，分别求出，后，找到进行比较即可得到结果． 【解答】解：取，，的中点，，，连接，，，，，，如图， 设正方体中棱长为2， ，且平面，平面， 平面，同理平面， ， 平面平面，， 平面，与平面所成角为， ，与所成角为（或其补角）， ， 当为中点时，此时最小，则最大，最大值为， 此时的最大值为． 当与或重合时，此时最大，则最小，最小值为2，此时的最小值为． ，； 对于，当为中点时，， 当与或重合时，最小， 又，， ，， ，，故正确，错误； 又，故错误． 故选：． 【点评】本题考查正方体结构特征、线面平行的判定与性质、线面角、三角函数等基础知识，考查运算求解能力，是中档题． 31．（2024•黄浦区校级三模）如图，点是棱长为2的正方体表面上的一个动点，直线与平面所成的角为，则点的轨迹长度为　　 A． B． C． D． 【分析】由题意易得点的轨迹为圆锥的侧面与正方体的表面的交轨，进而求解即可． 【解答】解：若直线与平面所成的角为，则点的轨迹为圆锥的侧面与正方体的表面的交轨， 在平面内，点的轨迹为对角线（除掉点，不影响）； 在平面内，点的轨迹为对角线（除掉点，不影响）； 在平面内是以点为圆心2为半径的圆弧，如图， 故点的轨迹长度为． 故选：． 【点评】本题考查轨迹的长度的计算，属中档题． 32．（2024春•杨浦区校级月考）设直线与平面所成角为，给出下列命题：（1）平面上不存在直线，使之与所成角小于；（2）设，平面上恰有两条直线与所成角均为；（3）若直线，则直线与所成角大小为；其中真命题的序号为 　（1）（3）　． 【分析】利用线面之间的位置关系的相关知识结合几何图形分析可得答案． 【解答】解：对于（1），如图，为直线与平面所成角， 设是平面内任意一条直线，， ， 结合线面角的范围可得，故（1）正确； 对于（2），若平面上有一条直线与所成角均为，则此平面内与该直线平行的直线都与所成角均为，因此（2）错误； 对于（3），如图， 若直线，则直线与所成角大小为，故（3）正确． 故答案为：（1）（3）． 【点评】本题考查线面角的概念，线面角的范围问题，属中档题． 33．（2024春•宝山区校级月考）如图，正直三棱柱中，，，是的中点，是的中点． （1）证明：直线直线 （2）求直线与平面所成的角的大小． 【分析】（1）取的中点，连接，，由题意可得，，可证得平面，进而可证得结论； （2）由题意可证得为直线与平面所成的角，求出它的正切值，进而求出它的角的大小． 【解答】证明：（1）取的中点， 连接，， 因为，的中点，，， 又因为直棱柱中，，可得，，， 所以平面，而平面， 所以； （2）因为平面，平面， 可得，，， 所以平面， 所以为直线与平面所成的角，且，， 所以， 所以． 【点评】本题考查线线垂直的证法及线面角的求法，属于中档题． 34．（2024•松江区校级模拟）如图，在圆锥中，是圆锥的顶点，是圆锥底面圆的圆心，是圆锥底面圆的直径，等边三角形是圆锥底面圆的内接三角形，是圆锥母线的中点，，． （1）求证：平面； （2）设线段与交于点，求直线与平面所成角的正弦值． 【分析】（1）取的中点，由题意可证得，进而可证得平面； （2）建立空间直角坐标系，求出各点的坐标，进而求出直线的方向向量及平面的法向量的坐标，求出，的值，进而求出线面所成的角的正弦值． 【解答】（1）证明：取的中点，连接， 又因为为的中点，所以， 因为是圆锥底面圆的圆心，所以， 因为，为等边三角形， 所以，且为的中点， 平面，平面， 所以平面； （2）解：以，，所在的直线分别为，，轴，建立空间直角坐标系， 因为，，则，，，， 所以，0，，，0，，，，，，0，，，0，， 因为，所以，即，，， 所以，，，，3，，，3，， 设平面的法向量为，，， 则，即， 令， 则，，， 所以，，， 所以，， 设直线与平面所成的角为，，， 所以，． 所以直线与平面所成的角正弦值为． 【点评】本题考查直线与平面平行的证法及用空间向量的方法求线面角的正弦值，属于中档题． 35．（2024•普陀区模拟）如图，在四棱锥中，底面是边长为1的正方形，，、分别是、的中点． （1）求证：平面； （2）若二面角的大小为，求直线与平面所成角的大小． 【分析】（1）取线段、的中点分别为、，可得，由此可证明； （2）平面，是直线与平面所成角，由此计算即可． 【解答】（1）证明：取线段、的中点分别为、，连接、、， 则，，，，又底面是正方形， 则，，即四边形为平行四边形， 则，又，平面，则平面． （2）为中点，连接、， 又，底面是边长为1的正方形， 则，且，， 又二面角的大小为，即平面平面， 又平面，平面平面， 则平面，则是直线与平面所成角， 在中，，即， 则直线与平面所成角的大小为． 【点评】本题考查线面平行的判定，考查线面所成的角，属于中档题． 36．（2024春•宝山区校级期中）已知三棱锥中，平面，，，为上一点且满足，，分别为，的中点． （1）求证：； （2）求直线与平面所成角的大小． 【分析】（1）以为原点建立空间直角坐标系，计算出，即可证明； （2）求出平面的法向量，利用向量法求出线面角的正弦值，即可求出夹角； 【解答】解：（1）证明：因为平面，，如图以为原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系， 则，0，，，0，，，4，，，0，，，0，，，2，，，0，， 所以， 因为， 所以，即． （2）设平面的法向量，， 则，即，取，得， 又， 设直线与平面所成角为， 则，又， 所以，所以直线与平面所成角的大小为． 【点评】本题考查了空间中直线与直线垂直的判定，考查了空间向量的应用，属于中档题． 37．（2024春•杨浦区校级期中）在四棱锥中，底面，，，，． （1）证明：； （2）求与平面所成的角的余弦值． 【分析】（1）证明平面，然后证明． （2）以为原点，为轴正向，为轴正向，为轴正向，建立直角坐标系，求解平面的一个法向量，，，利用空间向量的数量积转化求解与平面所成的角的余弦值即可． 【解答】（1）证明：，，，可得， 又底面，，平面， 平面，．或者这样证明：在四边形 中，作于，于，因为，，，所以四边形为等腰梯形，所以 故 所以，所以，因为平面，平面，所以，又，所以平面，又因为平面，所以．． （2）解：以为原点，为轴正向，为轴正向，为轴正向，建立直角坐标系， ，0，，，， 设平面的一个法向量，，，，0，，，，， ， 平面的一个法向量为，， 可以求得法向量和的夹角的余弦值为， 则其正弦为，所以与平面所成的角的余弦值为． 【点评】本题考查直线与平面垂直的判定定理的应用，直线与平面所成角的求法，是中档题． 38．（2024春•虹口区校级期中）如图，圆锥的底面半径为3，圆锥的表面积为． （1）求圆锥的体积； （2）设，是底面圆周上的两点，且平面平面，求直线与平面所成角的正弦值． 【分析】（1）根据圆锥的表面积公式求得母线长，从而求得高，再由圆锥的体积公式，求解即可； （2）由二面角的定义知，再利用等体积法求得点到平面的距离，然后求线面角，即可得解． 【解答】解：（1）设圆锥的母线为，则圆锥的表面积为， 因为圆锥的底面半径为3，表面积为， 所以， 解得， 所以圆锥的高， 所以圆锥的体积． （2）由圆锥的性质知，平面， 因为、平面， 所以，， 所以是平面与平面所成的角， 又平面平面，所以，所以， 设点到平面的距离为， 因为， 所以， 即，解得， 设直线与平面所成角为， 则， 故直线与平面所成角的正弦值为． 【点评】本题考查立体几何的综合应用，熟练掌握圆锥的表面积与体积公式，线面角的求法是解题的关键，考查空间立体感，逻辑推理能力和运算能力，属于中档题． 一十一．二面角的平面角及求法（共11小题） 39．（2024•浦东新区三模）边长都是为1的正方形和正方形所在的两个半平面所成的二面角为，、分别是对角线、上的动点，且，则的取值范围是　　 A． B． C． D． 【分析】由二面角的平面角定义，可得为和所在的两个半平面所成的二面角，设，，利用相似三角形得出和，再利用余弦定理求得的表达式，进而求得取值范围． 【解答】解：设，，则， 由题意，，在上的投影是同一点，设为，连接，， 则为和所在的两个半平面所成的二面角， 则， 由，可得， 由，可得， 在中，由余弦定理可得： ， 因为，所以，则． 故选：． 【点评】本题考查二面角的定义，考查相似三角形及余弦定理的应用，属中档题． 40．（2024春•长宁区校级月考）已知结论：椭圆的面积为．如图，一个平面斜截一个足够高的圆柱，与圆柱侧面相交的图形为椭圆．若圆柱底面圆半径为，平面与圆柱底面所成的锐二面角大小为，则下列对椭圆的描述中，错误的是　　 A．短轴为，且与大小无关 B．离心率为，且与大小无关 C．焦距为 D．面积为 【分析】根据椭圆的性质，结合题中的数据对，对每个选项逐一分析即可． 【解答】解：由题意得椭圆短轴长，而长轴长随变大为变长且， 所以， 故，焦距为， 由椭圆在底面投影即为底面圆，则等于圆的面积与椭圆面积的比值， 所以椭圆面积为，综上，正确，错误． 故选：． 【点评】本题考查曲线方程的性质，考查运算求解能力，属于基础题． 41．（2023秋•长宁区校级期末）已知平面与所成二面角为，为，外一定点，过点的直线与，所成的角都是，则这样的直线有且仅有　4　条． 【分析】过作平面垂直于、的交线，并且交于点0，连接，则垂直于，过点在内做的垂线，以为轴在垂直于的平面内转动，根据三垂线定理可得有两条直线满足题意．以点为轴在平面内前后转动，根据三垂线定理可得也有两条直线满足题意． 【解答】解：首先给出下面两个结论， ①两条平行线与同一个平面所成的角相等． ②与二面角的两个面成等角的直线在二面角的平分面上． （1）如图1，过二面角内任一点作棱的垂面，交棱于点， 与两半平面于，，则为二面角的平面角， 设为的平分线，则，与平面，所成的角可以都是， 此时过且与平行的直线符合要求，当以为轴心， 在二面角的平分面上转动时，与两平面夹角变小， 会对称的出现两条符合要求成情形． （2）如图2，设为的补角的平分线， 则， 与平面，所成的角都是．当以为轴心， 在二面角的平分面上转动时， 与两平面夹角变小，对称地在图中两侧会出现情形，有两条． 此时过且与平行的直线符合要求，有两条． 综上所述，直线的条数共有4条． 故答案为：4． 【点评】本题主要考查线面角，以及考查解决线面角的特殊方法的应用，考查空间想象能力，体现了转化的思想和运动变化的思想方法，此题是个难题． 42．（2024•浦东新区校级模拟）如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，平面底面，为的中点，是棱上的点，，，． （1）求证：平面平面； （2）设，若二面角的平面角的大小为，试确定的值． 【分析】（1）由，，为的中点，可得四边形为平行四边形，得到．结合，得．然后利用面面垂直的性质得平面．再由线面垂直的判定得平面平面； （2）由，为的中点，得．结合（1）可得平面．以为原点建立空间直角坐标系．然后求出平面的一个法向量，再由把平面的一个法向量用含有的代数式表示，结合二面角的平面角的大小为求得的值． 【解答】（1）求证：，，为的中点， 四边形为平行四边形，． ，，即． 又平面平面，且平面平面， 平面． 平面，平面平面； （2）解：，为的中点，． 平面平面，且平面平面， 平面． 如图，以为原点建立空间直角坐标系． 则面的法向量为； ，0，，，0，，，，，． 设，，，则，， ，，则， 即， 在平面中，，， 设平面的一个法向量，由， ，取，得． 平面法向量为． 二面角为，， 解得． 【点评】本题考查平面与平面垂直的判定，考查了空间想象能力和思维能力，训练了利用空间向量求解二面角的平面角，是中档题． 43．（2024•黄浦区校级三模）如图，在四棱锥中，已知底面为矩形，侧面是正三角形，侧面底面，是棱的中点，． （1）证明：平面； （2）若二面角为，求异面直线与所成角的正切值． 【分析】（1）利用面面垂直的性质，线面垂直的性质判定推理即得； （2）作出二面角的平面角，由此求出，再利用异面直线所成角的定义求出其正切值． 【解答】解：（1）在四棱锥中，由底面为矩形，得， 由侧面底面，侧面底面，平面， 得平面，又平面，则， 又侧面是正三角形，是的中点，则， 又，，平面， 所以平面． （2）如图， 在平面内，过点作，垂足为，显然， 由侧面底面，交线为，得底面，底面， 则，过作，垂足为，连接，显然， ，平面，则平面，而平面， 因此， 则即为二面角的平面角，其大小为， 在中，，则， 由，，得四边形为平行四边形，则， 由，得（或其补角）为异面直线与所成角， 由（1）知平面，则为直角三角形，， 所以异面直线与所成角的正切值为． 【点评】本题考查线面垂直的判定以及空间向量的应用，属于中档题． 44．（2024春•黄浦区校级期中）四棱锥中，平面，底面是正方形，，点是棱上一点． （1）求证：平面平面； （2）当为中点时，求二面角的正弦值． 【分析】（1）由平面，知，结合，可证平面，再由面面垂直的判定定理，即可得证； （2）以为坐标原点建立空间直角坐标系，利用向量法求二面角，即可得解． 【解答】（1）证明：因为平面，平面， 所以， 因为底面是正方形，所以， 又，、平面， 所以平面， 因为平面， 所以平面平面． （2）解：以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，0，，，0，，，2，，，0，，，2，，，1，， 所以，1，，，0，，，2，， 设平面的法向量为，，，则， 取，则，，所以，1，， 设平面的法向量为，，，则， 取，则，，所以，1，， 所以，， 由图知，二面角为锐角， 所以二面角的大小为， 故二面角的正弦值为． 【点评】本题考查立体几何的综合应用，熟练掌握线面、面面垂直的判定定理或性质定理，利用向量法求二面角是解题的关键，考查空间立体感，逻辑推理能力和运算能力，属于中档题． 45．（2024春•虹口区校级期中）如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面，为上的中点． （1）求证：平面； （2）设，求二面角的大小． 【分析】（1）连接交于点，连接，推导出，由此能证明平面． （2）以为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角的大小． 【解答】解：（1）证明：连接交于点，连接，如图， 则为中点， 为的中点，， 平面，平面， 平面． （2）以为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图， 则，0，，，，0，，，1，， ，，1，， 平面的法向量为，0，， 设平面的法向量为，，， 则，取，得，，， 平面的法向量为，0，， 设二面角的二面角为， 则，， 二面角的大小为． 【点评】本题考查线面平行的判定与性质、二面角等基础知识，考查运算求解能力，是中档题． 46．（2024春•黄浦区校级期中）如图，在四棱锥中，平面平面，，，，为棱的中点． （Ⅰ）证明：平面； （Ⅱ）若，， 求二面角的余弦值； 在线段上是否存在点，使得点到平面的距离是？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 【分析】（Ⅰ）根据线面平行的判定定理，取的中点，连接，，证明四边形是平行四边形，可得，即可证明结论； （Ⅱ）根据，，，证明，，由，建立空间直角坐标系，写出点的坐标及向量的坐标，求出平面的法向量，即可求出结果； 设，，点到平面的距离是在平面法向量上的投影的绝对值，即可求出，进而求出的值． 【解答】（Ⅰ）证明：取的中点，连接，，如图所示： 为棱的中点， ，，，，，， 四边形是平行四边形，， 又平面，平面， 平面； （Ⅱ）解：，，， ，， 平面平面，平面平面， 平面， 平面， 又，平面，，，由， 以点为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系，如图： 则，0，，，0，，，0，，，2，，为棱的中点， ，1，，，1，， ，1，，，1， 设平面的一个法向量为，，， 则，令，则，， ，，， 平面的一个法向量为，0，， ，， 二面角的余弦值为； 假设在线段上是存在点，使得点到平面的距离是， 设，，则，0，，，，， 由（2）知平面的一个法向量为，，， ， 点到平面的距离是， ，． 【点评】本题考查线面平行判定，二面角的求法，点到平面的距离，属中档题． 47．（2024•闵行区二模）如图，已知为等腰梯形，，，平面，． （1）求证：； （2）求二面角的大小． 【分析】（1）连接，利用勾股定理可证，由平面，知，从而有平面，再由线面垂直的性质定理，即可得证； （2）取的中点，连接、，先证，，从而知即为所求，再由三角函数的知识，求解即可． 【解答】（1）证明：连接， 为等腰梯形，，，， ， ，即， 平面，且平面， ， 又，平面， 平面，． （2）解：取的中点，连接、，则， ，， 为二面角的平面角， 平面，且平面， ， 由（1）知， 又， 平面， 平面，， 在中，，， ， 二面角的大小为． 【点评】本题考查立体几何的综合应用，熟练掌握线面垂直的判定定理与性质定理，二面角的定义与求法是解题的关键，考查空间立体感，逻辑推理能力和运算能力，属于中档题． 48．（2024•普陀区校级开学）如图，在底面为菱形的直四棱柱中，，，，分别是，，的中点． （1）求证：； （2）求平面与平面所成夹角的大小． 【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量的坐标运算能求出结果． （2）根据向量法能求出平面与平面所成夹角的大小． 【解答】解：（1）证明：取中点，连接， 底面是菱形，，， 以为坐标原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系， ，，，，，， ，，． （2）设平面的法向量为，，， ，2，， ，取，得，0，， ，0，为平面的法向量， 设平面与平面的夹角产， 则， ， 平面与平面所成夹角的大小为． 【点评】本题考查线面垂直、平面与平面所成角的余弦值等基础知识，考查运算求解能力，是中档题． 49．（2024春•宝山区校级月考）如图，在长方体中，点、分别在、上，且，． （1）求证：平面； （2）设，，，求平面与平面所成的锐二面角的大小． 【分析】（1）利用直线与平面垂直、三垂线定理即可证明； （2）通过空间向量的应用和二面角的知识即可求得锐二面角的大小． 【解答】（1）证明：由平面，在平面上的射影为， 从而直线在平面上的射影为， 由垂直于该平面上的直线， 根据三垂线定理，有； 同理，． 于是，直线垂直于平面上的两条相交直线、， 根据直线与平面垂直的判定定理，就有平面． （2）解：以为坐标原点，、、分别为轴、轴、轴正方向建立空间直角坐标系， 则，0，、，3，，，0，，，3，， ，， 由（1）可知向量即为平面的一个法向量． 设平面的法向量为， 则即 取，则，因此平面的一个法向量为． 设平面与平面所成的锐二面角为， 则， 因此平面与平面所成的锐二面角的大小为． 【点评】本题主要考查线面垂直的证明，二面角的求法，考查运算求解能力，属于中档题． 一十二．向量语言表述线线的垂直、平行关系（共1小题） 50．（2023秋•崇明区校级期末）在如图所示的几何体中，面，面，，，为 的中点．（1）证明：；（2）求直线和平面所成角的正弦值． 【分析】（1）以为原点建立如图所示的空间直角坐标系，根据，得到，从而有． （2）由（1）知的坐标，求出面的法向量为的坐标，设直线和平面所成角为，则，． 【解答】解：（1）证明：以为原点建立如图所示的空间直角坐标系，设，则． 由于，0，，，2，，，0，，，2，，，1，，， ，2，，，，． （2）由（1）知，，，，2，，，0，，，，． 设面的法向量为，，，则，即， 取，1，设直线和平面所成角为，则，． 【点评】本题考查两个向量垂直的条件，两个向量的夹角公式，体现了转化的数学思想，注意本题中，． 一十三．向量语言表述面面的垂直、平行关系（共1小题） 51．（2023秋•徐汇区校级期中）已知分别是平面，的法向量，且，则　　． 【分析】根据题意，分析可得，由此设，即，1，，，，进而分析可得答案． 【解答】解：根据题意，若，则有， 设，即，1，，，，则有， 变形可得：． 故答案为：． 【点评】本题考查平面向量的法向量，涉及平面平行的判断方法，属于基础题． 一十四．向量方法证明线、面的位置关系定理（共1小题） 52．（2023秋•奉贤区期中）如图，为正方体，动点在对角线上，记．当为钝角时，的取值范围为 　　． 【分析】根据题意，建立空间直角坐标系，显然不是平角，则为钝角时有，解得不等式即可． 【解答】解：根据题意，设正方体的棱长为1， 以为坐标原点，，，所在直线为，，轴，建立空间直角坐标系，如图： 则，1，，，1，，，0，，，0，，，1，，，0，，，1，； ，， 因为，则有， 设，，，则有，，，，， 即， 必有，所以的坐标为，，， 则有，，， 由于与是异面直线，显然不是平角， 若为钝角，有， 解得； 所以的取值范围为． 故答案为：． 【点评】本题考查空间向量的应用，涉及空间角的计算，属于基础题． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司2 学科网（北京）股份有限公司 $$