7.6 用锐角三角函数解决问题（第2课时）（课件）-2023-2024学年九年级数学下册同步精品课件（苏科版）

第7章　锐角三角函数 7.6 用锐角三角函数解决问题（2） 第2课时 与圆有关的问题 1 学习目标 进一步掌握锐角三角函数的简单应用，能利用解直角三角形的知识解决与圆有关的实际问题． 问题情境 五一期间，小明和同学一起到游乐场玩． 小明和小红玩跷跷板. 如图，AC=ABsinα A B C α 当我着地时，小红离地面的高度与什么有关？怎么表示呢？ 与跷跷板的长度和跷跷板与地面的夹角有关. 问题情境 探索1 小明荡秋千时发现，当秋千向两边摆动时，它摆动到的位置的高度与秋千的长度和秋千向两边摆动的角度有关，请你判断他的发现是否正确. α B O A E am D 探索与发现 . 如图，DE=OD-OE=OD-OAcosα=a(1-cosα) 探索2 小明坐上摩天轮，从底部出发开始观光.摩天轮的半径为20m，底部与地面相距0.3m，旋转1周需要12min．经过多长时间小明到达最高点？此时离地面多高？ 探索与发现 20m 0.3m A D O B 如图，用⊙O表示摩天轮，A、B分别表示小 明出发点和出发后的到达点. 由题意知，OB=OA=20，AD=0.3m， 小明离地面的最高点的距离=20×2+0.3=40.3m. 因为旋转1周需要12min，所以小明到达最 高点需要6min． 解：如图，用⊙O表示摩天轮，A、B分别表示小明出 发点和2min后的到达点. 由题意知，OB=20. ∵旋转1周用时12 min， ∴2 min后∠BOA的度数为==60°， 过点B作BC⊥OA，垂足为C. 在Rt△OCB中， OC=OB∙cos∠BOC=20×cos60°=20×=10， AC=AO-CO=20-10=10. ∵AD=0.3m， ∴小明离地面的高度=10+0.3=10.3m. 答：2min后小明离地面10.3m. 爱动脑筋的小红问：2 min后，小明离地面多高？ 探索与发现 C 20m 0.3m A D O B 解：如图，用⊙O表示摩天轮，A、B分别表示小明出 发点和5min后的到达点. 由题意知，OB=20. ∵旋转1周用时12 min， ∴5 min后∠BOA的度数为==150° ∴∠BOE=30° 过点B作BC⊥OE，垂足为C. 在Rt△OCB中， OC=OB∙cos∠BOC=20×cos30°=20×=10， AC=AO+CO=20+10. ∵AD=0.3m，∴小明离地面的高度=20+10+0.3≈37.6m. 答：5min后小明离地面37.6m. 20m 0.3m 变式1 5 min后，小明离地面多高？(精确到0.1 m) B E C A D O 拓展与延伸 A D O B 变式2 摩天轮转动多长时间后，小明离地面的高度将首次达到15.3m? 拓展与延伸 C 20m 0.3m θ 解：如图，设旋转角为θ， ∵15.3＜20.3， ∴根据题意，得 cosθ===， 用计算器计算，得θ≈75.5°. ∴≈2.52min. 答：摩天轮转动约2.52min后，小明离地面的高度将首次达到15.3m. 变式3 摩天轮转动1周，小明在离地面30.3m以上的空中有多长时间? 拓展与延伸 解：如图，设旋转角为180°-θ， ∵30.3＞20.3， ∴根据题意，得 cosθ===， ∴θ=60°. =4min. 12-4×2=4min. 答：小明在离地面30.3m以上的空中4min. 20m 0.3m B E C A D O θ 归纳总结 2. 根据实际问题构造出直角三角形，确定直角三角形中的已知元素和未知元素，从而选择适当的三角函数的关系式． 1. 一个圆绕圆心旋转1周需要m min，那么旋转n min(n≤m)后的旋转角(圆心角)的度数是________． 1. 如图，钟摆的摆长AB为90cm，当它摆动到AB'的位置时∠BAB′=11°，这时摆球B'相对于最低点B升高了多少 (精确到1cm)? A B B′ C 新知巩固 解：根据题意，得 cos∠CAB′=， AC=AB′cos∠CAB′=90cos11°=88.3. BC=AB-AC=90-88.3=1.7≈2cm. 答：这时摆球B'相对于最低点B升高了2cm. 2. 已知跷跷板长4m，当跷跷板的一端碰到地面时，另一端离地面1.5m.求此时跷跷板与地面的夹角(精确到0.1°). A B O C 4m 1.5m 解：如图，AB=4m，AC=1.5m sin∠BAC===0.375， 由计算器计算得， ∠BAC≈22.0°. 答：此时跷跷板与地面的夹角为22.0°. 新知巩固 新知巩固 3. 如图，在欢乐谷中有一座直径为120 m的摩天轮，旋转1周用时30 min.小明从摩天轮的