4.10 锐角三角函数-【一战成名新中考】2024广西中考数学·基础夯实练

基础夯实练·广西数学 命题点１０　 櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 毴 毴毴 毴 锐角三角函数 １．利用相似的直角三角形，探索并认识锐角三角函数（ｓｉｎＡ，ｃｏｓＡ，ｔａｎＡ），知道３０°，４５°，６０°角的三角函 数值； ２．会使用计算器由已知锐角求它的三角函数值，由已知三角函数值求它的对应锐角． 要点归纳 １．锐角三角函数 如图，在Ｒｔ△ＡＢＣ中，∠Ｃ＝９０°，∠Ａ为Ｒｔ△ＡＢＣ的一个锐角，则有： ∠Ａ的正弦：ｓｉｎＡ＝∠Ａ的对边 斜边 ＝①　　　　； ∠Ａ的余弦：ｃｏｓＡ＝∠Ａ的邻边 斜边 ＝②　　　　； ∠Ａ的正切：ｔａｎＡ＝∠Ａ的对边∠Ａ的邻边 ＝③　　　　． ２．特殊角的三角函数值 　　　　α 　三角函数　　　　　 ３０° ４５° ６０° ｓｉｎα １２ ④　　　 ⑤　　　 ｃｏｓα ⑥　　　 槡２ ２ ⑦　　　 ｔａｎα 槡３ ３ ⑧　１　 槡３ 　 ３．解直角三角形（如图） （１）三角关系：∠Ａ＋∠Ｂ＝∠Ｃ＝⑨　９０°　； （２）三边关系：ａ２＋ｂ２＝ｃ２； （３）边角关系：ｓｉｎＡ＝ａｃ＝ｃｏｓＢ；ｃｏｓＡ＝ ｂ ｃ＝⑩　ｓｉｎＢ　；ｔａｎＡ＝瑏瑡　　　＝ １ ｔａｎＢ； （４）在Ｒｔ△ＡＢＣ中，五个量∠Ａ，∠Ｂ，ａ，ｂ，ｃ，知道两个（其中含一边），即可根据三边关系、三 角关系或边角关系公式求解出其他三个量． ６８ 基础夯实练·广西数学 随堂练习 在Ｒｔ△ＡＢＣ中，∠Ｃ＝９０°． （１）若ＡＣ＝３，ＢＣ＝４，则ｓｉｎＡ＝　　　；ｃｏｓＡ＝　　　；ｔａｎＡ＝　　　； （２）若ｓｉｎ∠ＢＡＣ＝３５，将△ＡＢＣ三边都扩大３倍得到△Ａ′Ｂ′Ｃ′，则ｓｉｎ∠Ｂ′Ａ′Ｃ′＝　　　； 变式题图 （３）若ｔａｎＢ＝２３，ＡＣ＝４，则ＢＣ的长为　６　； （４）若ＡＢ＝１５，ｓｉｎＡ＝１３，则ＡＣ的长为　１０槡２　． 变式　如图，若△ＡＢＣ的三个顶点均在正方形网格的格点上，则ｔａｎＡ＝　　　． 命题点１１　 櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 毴 毴毴 毴 锐角三角函数的应用 １．在平面上，运用方位角和距离刻画两个物体的相对位置； ２．能用锐角三角函数解直角三角形，能用相关知识解决一些简单的实际问题； ３．了解近似数，在解决实际问题中，能用计算器进行近似计算，并会按问题的要求进行简单的近似计算． 要点归纳 １．用锐角三角函数解实际应用题的三种常见背景 概念 俯角、仰角 坡度（坡比） 方向角 图形 ｉ＝ｔａｎα＝ｈｌ 　 点Ａ在点 Ｏ的①　北偏 东３０°　方向 点Ｂ在点 Ｏ的②　南偏 东６０°　方向 点Ｃ在点 Ｏ的③　西北 （北偏西４５°）　方向 ２．锐角三角函数实际应用的常考模型 共高型 　 　 ７８ （４）∠Ｅ＝∠Ｆ（或∠Ａ＝∠Ｄ或∠ＡＥ∥ＤＦ），ＡＡＳ ２．证明：（１）∵∠Ｂ＝∠Ｅ，∠ＣＡＢ＝∠ＤＡＥ，ＡＣ＝ＡＤ， ∴△ＡＢＣ≌△ＡＥＤ，∴ＡＢ＝ＡＥ， ∴ＡＢ－ＡＤ＝ＡＥ－ＡＣ，∴ＢＤ＝ＣＥ． （２）如解图①，连接ＢＥ， ∵ＯＥ＝ＯＢ，∴∠ＯＥＢ＝∠ＯＢＥ． ∵ＯＤ＝ＯＣ，∠ＤＯＢ＝∠ＣＯＥ，ＯＢ＝ＯＥ， ∴△ＯＢＤ≌△ＯＥＣ， ∴∠ＡＢＣ＝∠ＡＥＤ，ＢＤ＝ＣＥ， ∴∠ＡＢＣ＋∠ＥＢＣ＝∠ＡＥＤ＋∠ＢＥＤ， ∴∠ＡＢＥ＝∠ＡＥＢ，∴ＡＢ＝ＡＥ， ∴ＡＢ－ＢＤ＝ＡＥ－ＣＥ，∴ＡＤ＝ＡＣ． 第２题解图① 　 第２题解图② （３）如解图②，连接ＡＯ， ∵∠ＯＣＥ＝∠ＯＤＢ＝９０°， ∴∠ＡＣＯ＝∠ＡＤＯ＝９０°， ∵ＣＯ＝ＤＯ，ＡＯ＝ＡＯ， ∴Ｒｔ△ＡＣＯ≌Ｒｔ△ＡＤＯ，∴ＡＤ＝ＡＣ． 命题点９　相似三角形的性质与判定 要点归纳　① ｃｄ　② ＡＥ ＥＣ　③ ＡＥ ＡＣ　④ ＡＣ ＣＥ　⑤相等　⑥成比 例　⑦相似比　⑧相似比　⑨相似比的平方　⑩相等 瑏瑡成比例　瑏瑢相似比　瑏瑣相似比的平方　瑏瑤位似多边形　 瑏瑥位似中心　瑏瑦平行 随堂练习　１．（１）４；（２）１３，１∶３， １ ９　２． ２４ ５　３．槡４２ ４．１∶２　５．２３　６． １５ ４　７． 槡１０ ５ 　８． １４ ３　９． ２５ ４　１０．Ｃ 命题点１０　锐角三角函数 要点归纳 　① ａｃ　② ｂ ｃ　③ ａ ｂ　④ 槡２ ２　⑤ 槡３ ２　⑥ 槡３ ２ ⑦１２　⑧１　⑨９０°　⑩ｓｉｎＢ　瑏瑡 ａ ｂ 随堂练习　（１）４５； ３ ５； ４ ３；（２） ３ ５；