4.7 直角三角形的性质与判定-【一战成名新中考】2024广西中考数学·基础夯实练

基础夯实练·广西数学 命题点７　 櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 毴 毴毴 毴 直角三角形的性质与判定 １．理解直角三角形的概念，探索并掌握直角三角形的性质定理：直角三角形的两个锐角互余，直角三角 形斜边上的中线等于斜边的一半．掌握有两个角互余的三角形是直角三角形； ２．探索勾股定理及其逆定理，并能运用它们解决一些简单的实际问题． 要点归纳 １．直角三角形的性质与判定 概念 有一个角是９０°的三角形叫作直角三角形 性质 （１）直角三角形两锐角之和等于①　９０°　，如图，∠Ａ＋∠Ｂ ＝②　９０°　； （２）直角三角形斜边上的中线等于斜边的③　一半　，如图，ＣＤ 是斜边上的中线，ＣＤ＝④　１２　ＡＢ； （３）勾股定理：如果直角三角形两直角边长分别为ａ，ｂ，斜边长为 ｃ，那么⑤　ｃ２＝ａ２＋ｂ２　 判定 （１）有一个角是９０°的三角形是直角三角形（定义）； （２）有两个角⑥　互余　的三角形是直角三角形； （３）勾股定理的逆定理：如果三角形的三边 ａ，ｂ，ｃ满足 ａ２＋ｂ２＝ ｃ２，那么这个三角形是直角三角形； （４）某边上的中线等于该边的一半的三角形是直角三角形（需证明） 面积计 算公式 Ｓ＝１２ａｂ＝ １ ２ｃｈ，其中ａ，ｂ为两直角边长，ｃ为斜边长，ｈ为斜边上 的高 ２．等腰直角三角形的性质与判定 性 质 （１）两条直角边⑦　相等　； （２）两个锐角⑧　相等　，均为⑨　４５　°； （３）斜边上的高把它分成两个小的等腰直角三角形； （４）一条直角边与斜边长的比为⑩　１∶槡２　 判 定 （１）有一个角是９０°的等腰三角形是等腰直角三角形； （２）有两个角均为瑏瑡　４５°　的三角形是等腰直角三角形； （３）一个直角三角形的三条边长的比是瑏瑢　１∶１∶槡２　，这个三角形 是等腰直角三角形 ６７ 基础夯实练·广西数学 ３．含３０°角的直角三角形 （１）性质 图形 性质 （１）两个锐角的度数分别为３０°，瑏瑣　６０°　； （２）３０°角所对的直角边等于斜边的瑏瑤　一半　；（反过来，若在一个 直角三角形中，一个锐角所对的直角边等于斜边的一半，那么这 个锐角的度数为瑏瑥　３０°　） （３）斜边中线将其分为一个瑏瑦　等边　三角形和一个底角为３０°的 等腰三角形．如图，ＣＤ为斜边上的中线，△ＢＣＤ是瑏瑧　等边三 角形　； （４）三条边长的比（从小到大）为瑏瑨　１∶槡３∶２　 （２）５种特殊的三角形辅助线作法 　 　 　　 ４．勾股定理及其探索过程 （１）赵爽弦图（图１） ∵大正方形的边长为 ｃ，∴大正方形的面积为 ｃ２，又∵Ｓ大正方形 ＝４× １ ２ａｂ＋（ａ－ｂ） ２＝ ａ２＋ｂ２，∴ａ２＋ｂ２＝ｃ２． 图１ 　　　　　 图２ 　　 图３ （２）毕达哥拉斯拼图（图２） 由左图得Ｓ大正方形 ＝ｃ ２＋４×１２ａｂ，由右图得Ｓ大正方形 ＝ａ ２＋ｂ２＋４×１２ａｂ，∴ａ ２＋ｂ２＝ｃ２． （３）伽菲尔德总统拼图（图３） 设梯形的面积为Ｓ，则Ｓ＝１２（ａ＋ｂ）（ａ＋ｂ）＝ １ ２ａ ２＋１２ｂ ２＋ａｂ，又∵Ｓ＝１２ａｂ＋ １ ２ａｂ＋ １ ２ｃ ２ ＝１２ｃ ２＋ａｂ，∴ａ２＋ｂ２＝ｃ２． （４）勾股定理的拓展应用 ①如图４、５、６，以Ｒｔ△ＡＢＣ的三条边为边向外分别作正方形、等边三角形、半圆，则 Ｓ１、 Ｓ２、Ｓ３之间的数量关系满足瑏瑩　Ｓ１＋Ｓ２＝Ｓ３　； 图４ 　　　 图５ 　　　 图６ 　　　 图７ ②如图７，以Ｒｔ△ＡＢＣ的三条边为边向外分别作扇形，且满足∠１＝∠２＝∠３，则Ｓ１、Ｓ２、 Ｓ３之间的数量关系满足瑐瑠　Ｓ１＋Ｓ２＝Ｓ３　． ７７ 基础夯实练·广西数学 ５．直角三角形的分类讨论 （１）已知直角三角形两边长求第三边时，若没有确定直角边和斜边，需要分类讨论 例１　直角三角形的两边长是３和４，则第三边长是瑐瑡　槡７或５　． 【思维点拨】直角三角形中斜边为最长边，无法确定边长为４的边是否为斜边，所以要讨论 ①边长为４的边为斜边；②边长为４的边为直角边． 例１题图 　　 例２题图 （２）已知三角形为直角三角形，若没有确定直角顶点，需要分类讨论 例２　已知Ａ，Ｂ是线段ＭＮ上的两点，ＭＮ＝４，ＭＡ＝１，ＭＢ＞１，以Ａ为中心顺时针旋转点 Ｍ，以Ｂ为中心逆时针旋转点 Ｎ，使 Ｍ，Ｎ两点重合成一点 Ｃ，构成△ＡＢＣ，设 ＡＢ＝ｘ，若 △ＡＢＣ为直角三角形，则ｘ的值为瑐瑢　　　　　　． 【思维点拨】△ＡＢＣ是直角三角形，并没有说明哪条边是斜边，应该分情况讨论： ①若ＡＢ为斜边，则ｘ２＝（３－ｘ）２＋１２； ②若ＢＣ为斜边，则（３－ｘ）２＝