大题01三角函数与解三角形（两大经典题型）-【大题精做】冲刺2024年高考数学大题突破+限时集训（上海专用）

大题01三角函数与解三角形 考查内容、命题规律+-常考题型/考向/考点 三角函数与解三角形一般处于上海卷第17题或第18题位置，在高考中，主要考查正余弦定理解三角形及三角函数与解三角形的综合问题，转化为三角函数的图象及其性质进行求解。还考察把实际应用问题转化为解三角形的问题，体现数学与实际问题的结合. 题型一：三角函数的周期性 1．（2023秋•普陀区校级期中）已知． （1）函数的最小正周期是，求，并求此时的解集； （2）已知，，求函数，的值域． ①一般地，对于函数f（x），如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f（x+T）＝f（x），那么函数f（x）就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期． ②对于一个周期函数f（x），如果在它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f（x）的最小正周期． ③函数y＝Asin（ωx+φ），x∈R及函数y＝Acos（ωx+φ）；x∈R（其中A、ω、φ为常数，且A≠0，ω＞0）的周期T＝． 【解题方法点拨】 1．一点提醒 求函数y＝Asin（ωx+φ）的单调区间时，应注意ω的符号，只有当ω＞0时，才能把ωx+φ看作一个整体，代入y＝sin t的相应单调区间求解，否则将出现错误． 2．两类点 y＝sin x，x∈[0，2π]，y＝cos x，x∈[0，2π]的五点是：零点和极值点（最值点）． 3．求周期的三种方法 ①利用周期函数的定义．f（x+T）＝f（x） ②利用公式：y＝Asin（ωx+φ）和y＝Acos（ωx+φ）的最小正周期为，y＝tan（ωx+φ）的最小正周期为． ③利用图象．图象重复的x的长度． 2．（2023春•黄浦区期末）已知定义在上的函数，满足，当时，． （1）若函数的最小正周期为，求证：，为奇函数； （2）设，若，函数在区间上恰有一个零点，求的取值范围． 1．（2023•杨浦区校级模拟）在平面直角坐标系中，，在以原点为圆心半径等1的圆上，将射线绕原点逆时针方向旋转后交该圆于点，设点的横坐标为，纵坐标． （1）如果，，求的值（用表示）； （2）如果，求的值． 2．（2023•长宁区二模）（1）求简谐振动的振幅、周期和初相位； （2）若函数在区间上有唯一的极大值点，求实数的取值范围； （3）设，，若函数在区间上是严格增函数，求实数的取值范围． 3．（2023•黄浦区模拟）设，． （1）是否存在使得为奇函数？说明理由； （2）当时，求证：函数在区间上是严格增函数． 4．（2023•黄浦区校级三模）已知函数，． （1）若函数在区间，上递增，求实数的取值范围； （2）若函数的图象关于点，对称，且，求点的坐标． 5．（2023•青羊区校级模拟）已知函数的最小正周期为，且， （1）求，； （2）将图象往右平移个单位后得函数，求的最大值及这时值的集合． 6．（2023•徐汇区校级模拟）已知函数． （1）求的单调递增区间； （2）求在上的最大值与最小值． 7．（2023•虹口区校级模拟）设． （1）判断函数的奇偶性，并写出最小正周期； （2）求函数在，上的最大值． 8．（2023•上海自主招生）回答下列问题： （1）用表示； （2）求； （3）若给定长度为1，的线段，简述尺规作图作出长为的线段的步骤； （4）简述尺规作图作出正五边形的步骤． 9．（2023•普陀区校级三模）设函数，其中． （1）若的最小正周期为，求的单调增区间； （2）若函数图像在上存在对称轴，求的取值范围． 10．（2023•徐汇区校级三模）如图，某市准备在道路的一侧修建一条运动比赛道，赛道的前一部分为曲线段．该曲线段是函数，，，时的图象，且图象的最高点为，赛道的中间部分为长千米的直线跑道，且；赛道的后一部分是以为圆心的一段圆弧． （1）求的值和的大小； （2）若要在圆弧赛道所对应的扇形区域内建一个“矩形草坪”，矩形的一边在道路上，一个顶点在半径上，另外一个顶点在圆弧上，求“矩形草坪”面积的最大值，并求此时点的位置． 11．（2023•宝山区校级模拟）已知函数． （1）求函数的单调递增区间； （2）将函数图象向右平移个单位后，得到函数的图象，求方程的解． 12．（2023•松江区校级模拟）设． （1）求的单调递增区间及对称中心； （2）当时，，求的值． 13．（2023•宝山区二模）已知函数． （1）求函数的最小正周期和单调区间； （2）若关于的方程在上有两个不同的实数解，求实数的取值范围． 14．（2023•青浦区二模）已知函数的表达式为． （1）求函数的最小正周期及图像的对称轴的方程； （2）求函数在上的值域． 15．（2023•奉贤区校级三模）已知扇形的半径为1，，是圆弧上一点（不与，重合），过作，，，为垂足． （1）若，求的长； （2）设，，的线段之和为，求的取值范围．