专题03：前n项和恒等式的应用（三大类型）-2024年新高考数学解答题核心考点分解训练与突破（新高考二轮复习）

03 前n项和恒等式的应用 一、必备知识： 1.若数列前项和为, 则， （当时，两式的值相同则合二为一，否则按此形式写出.） 2.累加公式:. 3.累积公式: . 4.等差数列通项公式：. 5.等比数列通项公式：. 6．等差数列前项和公式:. 7．等比数列前项和公式: . 自查自纠： 1. ， 2. 3. 4. 5. 6． 7． 二、题组： 题组一：型 经典例题： 例1．已知数列的前n项和，则的值为（ ） A．80 B．40 C．20 D．10 【答案】 【详解】． 例2．已知数列{an}的前n项和Sn＝n2＋3n＋1，则通项an＝ ． 【答案】 【详解】当时,,当时,, 验证当时，，所以. 例3．已知数列的前n项和为，那么该数列的通项公式为=_______. 【答案】 【详解】当时，；当时， 将代入上式可得.综上可得. 例4.数列满足，则数列的通项公式为_____. 【答案】 【详解】当 时，有 ，当时， ，又，两式相减有 ， 所以有 ，由于 不符合通项公式，所以 ． 巩固练习： 1．已知数列的前项和，其中，…，那么通项公式为_______________． 2.数列的前项和，则（ ）． A． B． C． D． 3.已知数列的通项公式为，记数列的前项和为，若，则数列的通项公式为__________． 4.数列满足,则________． 5.已知正项数列中,,则数列的通项公式为（ ） A． B． C． D． 题组二：型 经典例题： 例1．已知数列的前项和，则 的通项公式( ) A． B． C． D． 【答案】B 【详解】令，得，，当时，，所以，所以，所以数列是以1为首项，为公比的等比数列，所以，故选B． 例2．已知数列的前n项和为,且，则=____________． 【答案】 【详解】当时，，即；当时，由，得，两式相减，得，即；即为等比数列，其通项公式为． 例3．已知数列前项和为，，则__________． 【答案】 【详解】因为，所以，因为①，所以 ②，①-②得，所以，即，所以数列从第二项起是以3为首项，4为公比的等比数列，时，因此，数列的通项公式是. 巩固练习： 1.如果数列的前项和为，则这个数列的通项公式是（ ） A． B． C． D． 2．若数列的前项和，则的通项公式是(　 　) A． B． C． D． 3．数列的前项和为，且，则（ ） A． B． C． D． 4.数列的前项和记为，若，，则数列的通项公式为_______________. 题组 三：型 经典例题： 例1．已知数列的前项和为，，，则 . 【答案】 【详解】当时，则且，即，所以. 两式作差得，即，即， 所以，即. 则. 显然时也符合，所以. （另法：，.） 例2.已知数列，则数列的通项为 . 【答案】 【详解】∵ ①，∴当n≥2时， ②， ①-②得：，即：，∴， ∴，当n=1时，结论也成立．∴． 例3.数列中，，（），则数列的通项公式为_______. 【答案】 【详解】∵，∴，∴， ∴，又，∴数列是首项为，公比为的等比数列，∴，∴．答案： 巩固练习： 1.在数列中，，前项和，则数列的通项公式为 （ ） A． B． C． D． 2．记为数列的前n项和，已知是公差为的等差数列．则． 3.在数列中,,则数列的通项公式． 达标检测： 1．已知数列 的前 项和，则它的通项公式是_____; 2．已知数列的前n项和，求的通项公式_________． 3.若数列满足，则这个数列的通项公式为( ) A． B． C． D． 4．数列的前项和记为，，，则的通项公式为 ． 5．已知数列满足：，，则（    ） A． B． C． D． 6.已知数列的前项和为，，，则（ ） A． B． C． D． 7.已知数列的前n项和为,且满足,则数列的通项公式为（ ） A． B． C． D． 8．记为数列的前n项和，已知是公差为的等差数列．则． 9.在数列中, ,,则数列的通项公式_____． 10．设数列的前项和为，且，为等差数列，则的通项公式 ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！26 学科网（北京）股份有限公司 $$ 03 前n项和恒等式的应用 一、必备知识： 1.若数列前项和为, 则， （当时，两式的值相同则合二为一，否则按此形式写出.） 2.累加公式:. 3.