专题3.6 导数

专题3.6 导数 题组一、利用导数解证不等式 1-1、（盐城市、南京市2023—2024学年度第一学期期末调研测试高 三 数 学）(本小题满分12分) 已知函数f(x)＝e － (m∈R)． (1)当m＝1时，求函数f(x)的单调区间； (2)若函数f(x)的图象与x轴相切，求证：1＋ln2＜m＜2＋ln6． 1-2、（广东省执信、深外、育才等学校2024届高三上学期12月联考数学试题） 设函数，，． （1）求函数的单调区间； （2）若对任意，函数均有2个零点，求实数m的取值范围； （3）设且，证明：． 1-3、（山东潍坊2023-2024年高三期末考完）（12分）.已知函数，的导函数为. （1）当时，解不等式； （2）判断的零点个数； （3）证明：. 1-4、（2024年1月济南市高三期末学习质量检测）已知函数． （1）当时，求的单调区间； （2）若时，，求a的取值范围； （3）对于任意，证明： 题组二、利用导数研究函数零点、极值点问题 2-1、（2023-2024学年江苏盐城四校联考第一学期12月阶段检测）（12分）设函数，其中为自然对数的底数， （1）若为上的单调增函数，求实数的取值范围； （2）讨论的零点的个数. 题组三、利用导数解决不等式恒（能）成立与探索性问题 3-1、（江苏省如东中学2023-2024学年高三上学期12月学情调研） (本小题满分12分) 已知函数f(x)＝sin x－ax，a∈R. (1) 若a＝2，求曲线y＝f(x)在点(，f())处的切线方程； (2) 若f(x)≥a在x∈[，]上恒成立，求实数a的取值范围． 3-2、（2024届江苏新高考基地学校第三次大联考） 已知函数． （1）若在上单调递减，求a的取值范围； （2）若的最小值为3，求a． 3-3、（佛山一中2023-2024年高一次模拟考试数学（新课标I卷）） 已知函数（为自然对数的底数）. （1）若，求实数的值； （2）证明：； （3）对恒成立，求取值范围. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题3.6 导数 题组一、利用导数解证不等式 1-1、（盐城市、南京市2023—2024学年度第一学期期末调研测试高 三 数 学）(本小题满分12分) 已知函数f(x)＝e － (m∈R)． (1)当m＝1时，求函数f(x)的单调区间； (2)若函数f(x)的图象与x轴相切，求证：1＋ln2＜m＜2＋ln6． 解：(1)当m＝1时，f '(x)＝ex－1－＝， 1分 所以f '(1)＝0，又y＝x2ex－1＋lnx－1在(0，＋∞)上单调递增， 3分 所以当x∈(0，1)时，f '(x)＜0；当x∈(1，＋∞)时，f '(x)＞0， 所以f(x)在(0，1)上单调递减，f(x)在(1，＋∞)上单调递增． 5分 （2）f '(x)＝ex－m－，设函数f(x)的图象与x轴相切于点P(x0，0)， 则即 7分 所以lnx0－＝0，设h(x)＝lnx－，则h(x)在(0，＋∞)上单调递增且图象不间断， 又h(1)＜0，h(2)＞0，所以x0∈(1，2)， 9分 由ex0－m－＝0得em＝ex0， 又因为lnx0－＝0，所以＝x0＋1，则em＝ex0＝x0(x0＋1)ex0， 所以m＝ln(x0＋1)＋x0＋lnx0∈(1＋ln2，2＋ln6)． 12分 1-2、（广东省执信、深外、育才等学校2024届高三上学期12月联考数学试题） 设函数，，． （1）求函数的单调区间； （2）若对任意，函数均有2个零点，求实数m的取值范围； （3）设且，证明：． 【答案】（1）答案详见解析 （2） （3）证明详见解析 【解析】 【分析】（1）先求得，然后对进行分类讨论来求得的单调区间. （2）有（1）得到的单调性，根据的极大值大于零列不等式，利用构造函数法，结合导数来求得的取值范围. （3）转化要证明的不等式，结合（2）的结论来证得不等式成立. 【小问1详解】 的定义域为，其中， ， 当，即时，恒成立，在上单调递增. 当，即时，令解得， 在区间上单调递增； 在区间上单调递减. 综上所述，时在上单调递增； 时，在上单调递增，在上单调递减. 【小问2详解】 由（1）得，时，在上单调递增，在上单调递减. 依题意可得对任意，均有恒成立， 即 恒成立， 设， ， 令解得， 所以在区间上，单调递增， 在区间上，单调递减， 所以. 所以. 对于函数 当和时，，所以， 结合零点存在性定理可知，此时有两个零点. 所以实数m的取值范围是. 【小问3详解】 要证明， 即证明， 即证明， 即证明， 注意到 ， 所以即证明， 由（2）得， 即， 取代入上式， 得：，， 所以， 所以 1-3、（山东潍坊2023-2024年高三