3.16 二次函数与几何图形的综合-【一战成名新中考】2024四川中考数学·基础夯实练

基础夯实练·四川数学 命题点１６　二次函数与几何图形的综合 ［成都必考］ 例：如图１，在平面直角坐标系中，抛物线ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ＋３（ａ≠０）与ｘ轴分别交于点Ａ（－１，０）和 点Ｂ（３，０），与ｙ轴交于点Ｃ，顶点为Ｍ，对称轴与直线ＢＣ交于点Ｎ，点Ｄ是线段ＯＢ上一点 （不与点Ｂ重合），过点Ｄ作ＤＦ⊥ｘ轴，交抛物线于点Ｆ，交直线ＢＣ于点Ｅ，连接ＣＦ，设点Ｄ 的横坐标为ｍ． 设问角度一　确定解析式 （１）求抛物线与直线ＢＣ的函数表达式． 【思维点拨】将点Ａ，Ｂ的坐标代入抛物线的函数表达式，列方程组求出系数 ａ，ｂ．由抛物线 与ｙ轴的交点即可得点Ｃ坐标，再联立点Ｂ坐标即可得直线ＢＣ的函数表达式． 图１ 【自主解答】将点Ａ（－１，０），Ｂ（３，０）分别代入ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ＋３， 得 ａ－ｂ＋３＝０， ９ａ＋３ｂ＋３＝０{ ，解得 ａ＝－１， ｂ＝２{ ， ∴抛物线的函数表达式为ｙ＝－ｘ２＋２ｘ＋３； 由题知点Ｃ（０，３），∴设直线ＢＣ的函数表达式为ｙ＝ｋｘ＋３（ｋ≠０）， 将Ｂ（３，０）代入，得３ｋ＋３＝０，解得ｋ＝－１， ∴直线ＢＣ的函数表达式为ｙ＝－ｘ＋３． 设问角度二　定值（线段与面积）计算 （２）求线段ＭＮ的长，并用含ｍ的代数式表示出线段ＢＥ，ＥＦ的长． 【思维点拨】求出点Ｍ和点Ｎ的坐标即可得ＭＮ的长；用含ｍ的代数式表示出点Ｅ，Ｆ的坐 标，相减即得ＥＦ的长；由题知△ＢＥＤ是等腰直角三角形，即可得ＢＥ的长． 【自主解答】由（１）知抛物线的对称轴为直线ｘ＝－ ２２×（－１）＝１，顶点Ｍ的坐标为（１，４）， 将ｘ＝１代入ｙ＝－ｘ＋３，得ｙ＝２，即点Ｎ（１，２），∴ＭＮ＝２； 将ｘ＝ｍ代入ｙ＝－ｘ２＋２ｘ＋３，得ｙ＝－ｍ２＋２ｍ＋３， ∴点Ｆ（ｍ，－ｍ２＋２ｍ＋３）， 将ｘ＝ｍ代入ｙ＝－ｘ＋３，得ｙ＝－ｍ＋３，∴点Ｅ（ｍ，－ｍ＋３）， ∴ＥＦ＝－ｍ２＋２ｍ＋３－（－ｍ＋３）＝－ｍ２＋３ｍ； 由题知△ＢＥＤ是等腰直角三角形，∴ＢＥ＝槡２ＤＥ＝－槡２ｍ＋３槡２． （３）当ＥＦ＝ＭＮ时，求点Ｄ的坐标． 【思维点拨】用含ｍ的代数式表示出ＥＦ的值，建立方程，解方程即可． 【自主解答】由（２）知ＭＮ＝２，ＥＦ＝－ｍ２＋３ｍ，当ＥＦ＝ＭＮ时，－ｍ２＋３ｍ＝２， 解得ｍ＝１或ｍ＝２， ∴当ＥＦ＝ＭＮ时，点Ｄ的坐标为（１，０）或（２，０）． ５６ 基础夯实练·四川数学 （４）如图２，连接ＡＣ，ＣＭ，ＢＭ，求四边形ＡＢＭＣ的面积． 【思维点拨】四边形ＡＢＭＣ的面积可以看作△ＡＢＣ和△ＢＣＭ的面积和，△ＢＣＭ的面积可以 用“宽高法”（链接本书Ｐ４２“坐标系中的三角形面积求法”）求解，或证明△ＢＣＭ是直角三 角形求解． 图２ 【自主解答】由题知ＡＢ＝４，ＯＣ＝３， ∴Ｓ△ＡＢＣ＝ １ ２ＡＢ·ＯＣ＝ １ ２×４×３＝６． 由（２）知ＭＮ＝２，∴Ｓ△ＢＣＭ＝ １ ２ＭＮ·ＯＢ＝ １ ２×２×３＝３． ∴Ｓ四边形ＡＢＭＣ＝Ｓ△ＡＢＣ＋Ｓ△ＢＣＭ＝６＋３＝９． 设问角度三　最值（线段与面积）计算 （５）若点Ｐ是ｙ轴上一点，连接ＢＰ，ＮＰ，求当ＢＰ＋ＮＰ取得最小值时点Ｐ的坐标． 【思维点拨】求线段和最值联想“将军饮马”（链接培优册Ｐ２７“类型３　将军饮马”），即作点 Ｎ关于ｙ轴的对称点Ｎ′，连接Ｎ′Ｂ交ｙ轴于点Ｐ，即为点Ｐ的位置． 【自主解答】如解图１，作点 Ｎ关于 ｙ轴的对称点 Ｎ′，连接 Ｎ′Ｂ交 ｙ轴于点 Ｐ，此时 ＢＰ＋ＮＰ取得最 小值， 由（２）知点Ｎ（１，２），∴点Ｎ′（－１，２）， 设直线ＢＮ′的解析式为ｙ＝ｐｘ＋ｑ（ｐ≠０），将（－１，２），（３，０）代入，得 －ｐ＋ｑ＝２， ３ｐ＋ｑ＝０{ ，解得 ｐ＝－１２， ｑ＝３２ { ， ∴ｙ＝－１２ｘ＋ ３ ２，∴Ｐ（０， ３ ２）． （６）如图３，连接ＢＦ，求△ＢＣＦ面积的最大值，及取得最大值时点Ｄ的坐标． 【思维点拨】因为 ＥＦ垂直 ｘ轴，所以可利用“宽高法”将△ＢＣＦ的面积转化为△ＣＥＦ和 △ＢＥＦ的面积和，再用含ｍ的代数式表示出来，利用二次函数性质确定其最值． 图３ 【自主解答】由（２）知ＥＦ＝－ｍ２＋３ｍ， ∴Ｓ△ＢＣＦ＝Ｓ△ＣＥＦ＋Ｓ△ＢＥＦ＝ １ ２ＥＦ·ＯＤ＋ １ ２ＥＦ·ＢＤ＝ １ ２ＥＦ（ＯＤ＋ＤＢ）＝ １ ２ＥＦ·ＯＢ ＝－３２（ｍ ２－３ｍ）＝－３２（ｍ－ ３ ２） ２＋２７８， ∴当ｍ＝３２时，△ＢＣＦ的面积有最大值为 ２７ ８，此时点Ｄ的坐标为（ ３ ２，０）． 设问角度四　存在性问题 （７）是否存在△ＣＥＦ是等腰三角形，若存在，求此时ｍ的值；若不存在，请说明理由． 【思维点拨】分ＣＥ＝ＥＦ，ＣＥ＝ＣＦ，ＣＦ＝ＥＦ三种情况讨论．当ＣＥ＝ＥＦ时用含ｍ的代数式表 示出ＣＥ与ＥＦ的长，解方程求解；当ＣＥ＝ＣＦ，ＣＦ＝ＥＦ时，由∠ＣＥＦ＝４５°，得此时△ＣＥＦ为 等腰直角三角形，即可