3.16 二次函数与几何图形的综合-【一战成名新中考】2024四川中考数学·分层作业本

分层作业本·四川数学 第 三 章 　 函 数 命题点１６　二次函数与几何图形的综合 （成都必考） 考向１　线段问题 １．（２０２３盘锦改编）如图，抛物线ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ－３ 与ｘ轴交于点 Ａ（１，０），Ｂ（－３，０），与 ｙ轴交 于点Ｃ． （１）求抛物线的解析式； （２）点Ｑ是ｘ轴下方抛物线上一点，射线ＱＭ⊥ｘ 轴于点Ｎ，若ＱＭ＝ＢＭ，且 ｔａｎ∠ＭＢＮ＝４３，求点 Ｑ的坐标． 第１题图 解：（１）设抛物线的解析式为 ｙ＝ａ（ｘ－１）（ｘ＋３）＝ ａ（ｘ２＋２ｘ－３）＝ａｘ２＋２ａ－３ａ， 则－３ａ＝－３，则ａ＝１， ∴抛物线的解析式为ｙ＝ｘ２＋２ｘ－３； （２）∵ ｔａｎ∠ＭＢＮ＝４３＝ ＭＮ ＮＢ， ∴设ＭＮ＝４ｍ，ＮＢ＝３ｍ，则ＢＭ＝５ｍ， 则点Ｎ，Ｍ的坐标分别为（３ｍ－３，０），（３ｍ－３，－４ｍ）， 当ｘ＝３ｍ－３时，ｙ＝ｘ２＋２ｘ－３＝９ｍ２－１２ｍ， 则点Ｑ（３ｍ－３，９ｍ２－１２ｍ）， ∵ＱＭ＝ＢＭ， ∴－９ｍ２＋１２ｍ－４ｍ＝５ｍ， 解得ｍ＝０（舍去）或ｍ＝１３， ∴点Ｑ的坐标为（－２，－３）． ２．（２０２３宁夏节选）如图，抛物线ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ＋３ （ａ≠０）与ｘ轴交于 Ａ，Ｂ两点，与 ｙ轴交于点 Ｃ．已知点Ａ的坐标是（－１，０），抛物线的对称 轴是直线ｘ＝１． （１）求点Ｂ的坐标； （２）在对称轴上找一点 Ｐ，使 ＰＡ＋ＰＣ的值最 小．求点Ｐ的坐标和ＰＡ＋ＰＣ的最小值． 第２题图                                                                   ５４ 分层作业本·四川数学 第 三 章 　 函 数 考向２　面积问题 ３．（２０２３达州节选）如图，抛物线ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ 过点Ａ（－１，０），Ｂ（３，０），Ｃ（０，３）． （１）求抛物线的解析式； （２）设点Ｐ是直线ＢＣ上方抛物线上一点，求 出△ＰＢＣ的最大面积及此时点Ｐ的坐标． 第３题图 ４．（２０２２成都２５题节选）如图，在平面直角坐标 系ｘＯｙ中，直线ｙ＝ｋｘ－３（ｋ≠０）与抛物线ｙ＝ －ｘ２相交于Ａ，Ｂ两点（点 Ａ在点 Ｂ的左侧）， 点Ｂ关于ｙ轴的对称点为Ｂ′． （１）当ｋ＝２时，求Ａ，Ｂ两点的坐标； （２）连接 ＯＡ，ＯＢ，ＡＢ′，ＢＢ′，若△Ｂ′ＡＢ的面积 与△ＯＡＢ的面积相等，求ｋ的值． 第４题图                                                                          ６４ 分层作业本·四川数学 第 三 章 　 函 数 考向３　特殊图形存在性问题 ５．（２０２３成都２５题节选）如图，在平面直角坐标 系ｘＯｙ中，已知抛物线 ｙ＝ａｘ２ ＋ｃ经过点 Ｐ（４，－３），与ｙ轴交于点Ａ（０，１），直线ｙ＝ｋｘ （ｋ≠０）与抛物线交于Ｂ，Ｃ两点． （１）求抛物线的函数表达式； （２）若△ＡＢＰ是以 ＡＢ为腰的等腰三角形，求 点Ｂ的坐标． 第５题图 解：（１）将Ｐ（４，－３），Ａ（０，１）代入ｙ＝ａｘ２＋ｃ， 得 １６ａ＋ｃ＝－３， ｃ＝１{ ， 解得 ａ＝－１４， ｃ＝１{ ， ∴抛物线的函数表达式为ｙ＝－１４ｘ ２＋１； （２）设Ｂ（ｘ，ｙ）， ∵Ｐ（４，－３），Ａ（０，１）， ∴ＡＢ＝ ｘ２＋（ｙ－１）槡 ２，ＡＰ＝４槡２， ＢＰ＝ （ｘ－４）２＋（ｙ＋３）槡 ２， 当ＡＢ＝ＡＰ时， ｘ２＋（ｙ－１）槡 ２＝４槡２， ∵ｙ＝－１４ｘ ２＋１， ∴ｘ＝４（舍去）或ｘ＝－４， ∴Ｂ（－４，－３）； 当ＡＢ＝ＢＰ时， ｘ２＋（ｙ－１）槡 ２＝ （ｘ－４）２＋（ｙ＋３）槡 ２， 解得ｘ＝－２＋２槡５或ｘ＝－２－２槡５， ∴Ｂ（－２＋２槡５，－５＋２槡５）或（－２－２槡５，－５－２槡５）． 综上所述，点Ｂ的坐标为（－４，－３）或（－２＋２槡５， －５＋２槡５）或（－２－２槡５，－５－２槡５）． ６．（２０２３广安节选）如图，二次函数ｙ＝ｘ２＋ｂｘ＋ ｃ的图象交ｘ轴于点Ａ、Ｂ，交ｙ轴于点Ｃ，点Ｂ 的坐标为（１，０），对称轴是直线 ｘ＝－１，点 Ｐ 是ｘ轴上一动点，ＰＭ⊥ｘ轴，交直线 ＡＣ于点 Ｍ，交抛物线于点Ｎ． （１）求这个二次函数的解析式； （２）若点Ｐ在ｘ轴上运动，则在ｙ轴上是否存 在点Ｑ，使以Ｍ、Ｎ、Ｃ、Ｑ为顶点的四边形是菱 形？若存在，请直接写出所有满足条件的点Ｑ 的坐标；若不存在，请说明理由． 第６题图        