2.2 椭圆（课件）-【上好课】2024-2025学年高二数学同步精品课堂（沪教版2020选择性必修第一册）

2.2 椭圆 第2章 圆锥曲线 教师 xxx 沪教版（2020）选择性必修第一册 椭圆的标准方程 椭圆的性质 01 02 CONTANTS 目 录 椭圆的标准方程 01 情境一：用圆柱形水杯盛半杯水，将水杯放在水平桌面上，截面为圆形． 当端起水杯，水杯倾斜时，再观察水面，此时截面为椭圆形.    问题1：联想生活中还有哪些物体是椭圆形的？ 问题2:（1）圆是怎样画出来的？ （2）圆的定义是什么？ （3）圆的标准方程是什么形式的？ 情境二： 实验操作 (1)取一条定长的细绳； (2)把它的两端都固定在图板的同一点处； (3)套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，这时笔尖（动点）画出的轨迹是一个圆． 实验探究，形成概念 动手实验：如果将圆心从一点“分裂”成两点，把细绳的两端拉开一段距离，分别固定在图板中的两点（ ），套上铅笔，拉紧绳子，慢慢移动笔尖，画出的轨迹是什么曲线？ 实验探究，形成概念 思考？ (1)在作图中，哪些量没有变？ 的和是否变化？ (2) 与 的大小关系是？ (3)若绳长与两定点 的距离相等，画出的图形是？ (4)绳长能小于两定点 之间的距离吗？ 实验探究：椭圆的定义 椭圆定义： 我们把平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数（大于|F1F2|）的点的轨迹叫做椭圆. 两个定点F1，F2叫做椭圆的焦点. 两焦点间的距离叫做椭圆的焦距.一般用 表示. 新知讲解 注意:(1)若|PF1|+|PF2|>|F1F2|,P点轨迹为椭圆. (2)若|PF1|+|PF2|=|F1F2|,P点轨迹为线段. (3)若|PF1|+|PF2|<|F1F2|,P点轨迹不存在. 提升总结 思考：在平面内动点P到两个定点F1，F2的距离之和等于定值2a的点的轨迹是否一定为椭圆？ 研讨探究，推导方程 问题：求曲线方程的一般步骤是什么？ ①建系、设点 ②列式 ③代换 ④化简 ⑤证明 第一步： 如何建立适当的坐标系呢？ 想一想：圆的最简单的标准方程，是以圆的两条相互垂直的对称轴为坐标轴，椭圆是否可以采用类似的方法呢？ O x y M F1 F2 设M(x, y)是椭圆上任意一点，椭圆的两个焦点分别为F1和F2，椭圆的焦距为2c(c>0)，M与F1和F2 的距离的和等于2a(2a>2c>0) . 解：以焦点F1,F2的所在直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系xOy(如图). 设M(x, y )是椭圆上任意一点，椭圆的焦距为2c(c>0)，M与F1和F2的距离的和等于正常数2a (2a>2c) ，则F1，F2的坐标分别是(c,0)，(c,0) . O x y M F1 F2 由椭圆的定义得 因为 移项，再平方 整理得 两边再平方，得 新知讲解 它表示焦点在y轴上的椭圆. 它表示焦点在x轴上的椭圆. 1 o F y x 2 F M 1 2 y o F F M x 归纳概括 （1）椭圆的标准方程的形式：左边是两个分式 的平方和，右边是1; （2）椭圆的标准方程中，x2与y2的分母哪一个大， 则焦点在哪一个轴上; （3）椭圆标准方程是关于x和y的二元二次方程，不含一次项; （4）椭圆的标准方程中a，b，c满足a2=b2+c2. 椭圆的标准方程有哪些特征呢？ 题型探究 判断 符合定义中到两定点的距离之和为常数(大于两定点的距离)这一条件的点的轨迹为椭圆 求值 椭圆上的点一定满足定义中的条件,即到两定点的距离之和为2a 椭圆的性质 02 我们利用椭圆的标准方程研究椭圆的几何性质，包括椭圆的范围、形状、大小、对称性和特殊点等。 下面，我们用椭圆方程来研究椭圆的几何性质。 观察：观察椭圆的形状，你能从图上看出它的范围吗？它具有怎样的对称性？椭圆上哪些点比较特殊？ l 结论：椭圆位于直线x=±a和y=±b所围成的矩形框里. 思考：观察右图，容易看出椭圆上的点都在一个特定的矩形内，你能利用方程（代数方法）确定出它的具体边界吗？ 1.范围 由方程，可知 所以，椭圆上点的横坐标都适合不等式 即 即 这说明椭圆位于直线 x =±a，y=±b所围成的矩形框里。 l l 探究：观察椭圆的形状，可以发现椭圆即是轴对称图形，又是中心对称图形。如何利用方程说明椭圆的对称性？ 2.对称性 在椭圆的标准方程中，以-y代y，方程不变。这说明当点P(x,y)在椭圆上时，它关于x