2.4 抛物线（课件）-【上好课】2024-2025学年高二数学同步精品课堂（沪教版2020选择性必修第一册）

2.4 抛物线 第2章 圆锥曲线 教师 xxx 沪教版（2020）选择性必修第一册 抛物线的标准方程 抛物线的性质 01 02 CONTANTS 目 录 抛物线的标准方程 01 情景导入 我们已经学习了圆、椭圆、双曲线三种圆锥曲线，今天我们类比椭圆、双曲线的研究过程与方法，研究另一类圆锥曲线——抛物线． (2) 双曲线的离心率的范围是e＞1; (3)当e=1时，它的轨迹是什么？ (1)椭圆的离心率范围为0<e<1; 抛物线 抛物线及其标准方程 作图1： 作定点F，定直线l(l不经过定点F)，B为定直线上一个动点，过B作l2⊥l，线段BF的垂直平分线交l2于D点.拖动B 点，点D随之运动。 思考：D点满足什么条件？它的轨迹是什么形状？ 思考：D点满足什么条件？它的轨迹是什么形状？ 在运动过程中，始终有|BD|=|DF|，即点D与定点F的距离等于它到定直线的距离，点D的轨迹形状与二次函数的图象相似。 如图，我们在黑板上画一条直线EF，然后取一个三角板，将一条拉链AB固定在三角板的一条直角边上，并将拉链下边一半的一端固定在C点，将三角板的另一条直角边贴在直线EF上，在拉锁D处放置一支粉笔，上下拖动三角板，粉笔会画出一条曲线． 作图2： 问题1：|DA|是点D到直线EF的距离吗？为什么？ 提示：是．AB是直角三角形的一条直角边． 问题2：点D在移动过程中，满足什么条件？ 提示：|DA|＝|DC|. 问题3：画出的曲线是什么形状？ 提示：抛物线． 平面内到一个定点F和一条定直线l（l不经过点F）的距离相等的点的轨迹叫做抛物线. 抛物线定义 定点F叫做抛物线的焦点. 定直线l 叫做抛物线的准线. · · F P l C 集合表示：P＝{M||MF|＝d}，d为点M到准线l的距离 对抛物线定义的认识 (1)定义的实质可归结为“一动三定”；一个动点，设为M；一个定点F叫做抛物线的焦点；一条定直线l，叫做抛物线的准线；一个定值，即点M与点F的距离和它到直线l的距离之比等于1. (2)注意定点F不在直线l上，否则动点M的轨迹不是抛物线，而是过点F垂直于直线l的一条直线. 求轨迹方程 ★如何建立直角坐标系？ 想一想？ 使方程形式足够简洁 ！ · · F P l C 根据抛物线的几何特征，如图，取经过点F且垂直于l的直线为轴，线段的垂直平分线为轴，建立平面直角坐标系，此时，抛物线的焦点为 设M 是抛物线上一点，则M到F的距离为 则M到直线的距离为, 所以= 上式两边平方，整理可得=2 ① 从上述过程可以看到,抛物线上任意一点的坐标(x,y)都是方程①的解,以方程①的解为坐标的点(x,y)与抛物线的焦点 的距离和它到准线 的距离相等,即以方程①的解为坐标的点都在抛物线上,我们把方程①叫做抛物线的标准方程,它表示焦点在x轴正半轴上,焦点是 ，准线是 的抛物线. 在建立椭圆、双曲线的标准方程时,选择不同的坐标系我们得到了不同形式的标准方程,抛物线的标准方程有哪些不同的形式?请探究之后填写下表. 图像 标准方程 焦点坐标 准线方程 1．标准方程特征：等号一边是某个变量的完全平方，等号的另一边是另一变量的一次项； 2．标准方程中p表示焦点到准线的距离，p的值永远大于零； 3．四个标准方程的区分：焦点在一次项变量对应的坐标轴上，开口方向由一次项系数的符号确定．当系数为正时，开口向坐标轴的正方向；当系数为负时，开口向坐标轴的负方向. 方法总结 题型探究 实现距离转化 根据抛物线的定义，抛物线上任意一点到焦点的距离等于它到准线的距离，因此，由抛物线定义可以实现点点距离与点线距离的相互转化，从而简化某些问题 解决最值问题 在抛物线中求解与焦点有关的两点间距离和的最小值时，往往用抛物线的定义进行转化，即化折线为直线解决最值问题 抛物线的性质 02 你认为应该研究抛物线 的哪些几何性质，如何研究这些性质？ 利用数形结合思想方法，从图形、方程两个角度． 椭圆 双曲线 类比 抛物线 1.范围（代数法、几何法两种方法研究） 以 为例研究抛物线的几何性质 抛物线 y2 = 2px (p＞0) 在 y 轴的右侧，开口向右，这条抛物线上的任意一点M 的坐标 (x, y) ，横坐标满足不等式 x ≥ 0；当x 的值增大时，|y| 也增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸． 抛物线是无界曲线． 范围 抛物线上的点