专题6 几何综合探究题-【一战成名新中考】2024四川中考数学·培优册

培优册·四川数学 重 难 专 题 篇 专题６　几何综合探究题 ［成都必考］ 类 型 １　操作类探究 考向１　折叠（成都２０２０．２７） 小题引入 在矩形ＡＢＣＤ中，ＡＢ＝１，ＢＣ＝槡３，点Ｅ是ＢＣ边上一动点，连接ＡＥ． （１）如图１，沿ＡＥ将△ＡＢＥ折叠，使点Ｂ的对应点落在边ＡＤ上的点Ｆ处，则ＡＥ＝　　　　， ＥＦ＝　　　　，四边形ＡＢＥＦ是　　　　（填特殊平行四边形的名称）； 图１ 　　　　　　　 图２ （２）如图２，沿ＡＥ将△ＡＢＥ折叠，使点Ｂ的对应点落在对角线ＡＣ上的点Ｇ处，则ＡＧ＝　　　　， ∠ＢＡＥ＝　　　　°，∠ＣＥＧ＝　　　　°，ＡＥ＝　　　　；连接ＢＧ，ＢＧ与ＡＥ的位置关系是　　　　． 【答案】（１）槡２，１，正方形；（２）１，３０，６０， ２槡３ ３，ＢＧ⊥ＡＥ． 典例精析 例：（２０２２贵阳）小红根据学习轴对称的经验，对线段之间、角之间的关系进行了拓展探究．如 图，在ＡＢＣＤ中，ＡＮ为ＢＣ边上的高，ＡＤＡＮ＝ｍ，点Ｍ在ＡＤ边上，且ＢＡ＝ＢＭ，点Ｅ是线段ＡＭ 上任意一点，连接ＢＥ，将△ＡＢＥ沿ＢＥ翻折得△ＦＢＥ． （１）问题解决 如图１，当∠ＢＡＤ＝６０°，将△ＡＢＥ沿ＢＥ翻折后，使点Ｆ与点Ｍ重合，则ＡＭＡＮ＝　　　　； 【思路剖析】由题知△ＡＢＭ是等边三角形，则ＡＭＡＮ转化为 ＡＢ ＡＮ，再结合特殊角的三角函数值 求解． 图１ 【自主解答】２槡３３；【解法提示】∵ＢＡ＝ＢＭ，∠ＢＡＤ＝６０°，∴△ＡＢＭ是等边三角 形，∴ＡＢ＝ＡＭ＝ＢＭ，∵四边形 ＡＢＣＤ是平行四边形，∴ＡＤ∥ＢＣ，∴∠ＡＢＮ＝ ∠ＢＡＭ＝６０°，∵ＡＮ为ＢＣ边上的高，∴ＡＭＡＮ＝ ＡＢ ＡＮ＝ １ ｓｉｎ∠ＡＢＮ ＝２槡３３． （２）问题探究 图２ 如图２，当∠ＢＡＤ＝４５°，将△ＡＢＥ沿 ＢＥ翻折后，使 ＥＦ∥ＢＭ，求∠ＡＢＥ 的度数，并求出此时ｍ的最小值； 【思路剖析】由题知△ＡＢＭ是等腰直角三角形，再结合平行及折叠的性 质即可求得∠ＡＥＢ的度数，由三角形内角和定理可得∠ＡＢＥ的度数；根 据点Ｍ在ＡＤ边上，当ＡＤ＝ＡＭ时，ｍ取得最小值． ０８ 培优册·四川数学 重 难 专 题 篇 【自主解答】∵∠ＢＡＤ＝４５°，ＢＡ＝ＢＭ， ∴△ＡＭＢ是等腰直角三角形，∴∠ＢＡＤ＝∠ＡＭＢ＝４５°， ∵ＥＦ∥ＢＭ，∴∠ＦＥＭ＝∠ＡＭＢ＝４５°， ∴∠ＡＥＢ＝∠ＦＥＢ＝１２×（１８０°＋４５°）＝１１２．５°， ∴∠ＡＢＥ＝１８０°－∠ＡＥＢ－∠ＢＡＥ＝２２．５°． ∵ＡＤ∥ＮＣ，∴∠ＢＡＥ＝∠ＡＢＮ＝４５°， ∵ＡＤＡＮ＝ｍ，△ＡＭＢ是等腰直角三角形，ＡＮ为ＢＣ边上的高， ∴ＡＮ＝１２ＡＭ，∵点Ｍ在ＡＤ边上，∴当ＡＤ＝ＡＭ时，ｍ取得最小值，最小值为 ＡＭ ＡＮ＝２； （３）拓展延伸 当∠ＢＡＤ＝３０°，将△ＡＢＥ沿ＢＥ翻折后，若ＥＦ⊥ＡＤ，且ＡＥ＝ＭＤ，根据题意在备用图中画出 图形，并求出ｍ的值． 【思路剖析】题中点Ｅ的位置不确定，故点 Ａ的对应点 Ｆ可能在 ＡＤ上方，也可能在 ＡＤ下 方，要分情况讨论．当点 Ｆ在 ＡＤ上方时，连接 ＦＭ，折叠以后通过角度换算和 ＢＡ＝ＢＭ知 △ＦＢＭ是等腰直角三角形，设ＡＮ＝ａ，则通过 ＡＤ＝ＡＥ＋ＥＭ＋ＭＤ，用含 ａ的代数式表示出 ＡＤ，即可得ｍ的值；当点Ｆ在ＡＤ下方时，过点Ｂ作ＢＯ⊥ＡＭ，则△ＯＢＥ是等腰直角三角形， 再结合ＢＡ＝ＢＭ可用含ａ的代数式表示出ＡＤ，即可得ｍ的值． 备用图 【自主解答】 如解图１，连接ＦＭ，延长ＦＥ交ＮＣ于点Ｇ， ∵∠ＢＡＤ＝３０°，ＡＤ∥ＮＣ，∴∠ＡＢＮ＝３０°，设ＡＮ＝ａ，则ＡＢ ＝２ａ，ＮＢ＝槡３ａ， ∵ＥＦ⊥ＡＤ，∴∠ＡＥＢ＝∠ＦＥＢ＝１２×（１８０°＋９０°）＝１３５°， ∵∠ＥＡＢ＝∠ＢＡＤ＝３０°，∴∠ＡＢＥ＝１５°，∴∠ＡＢＦ＝３０°， ∵ＡＢ＝ＢＭ，∠ＢＡＤ＝３０°，∴∠ＡＭＢ＝３０°，∠ＡＢＭ＝１２０°，∴∠ＦＢＭ＝∠ＡＢＭ－∠ＡＢＦ＝９０°， 在 Ｒｔ△ＦＢＭ中，ＦＢ＝ＡＢ＝ＢＭ，∴ＦＭ＝槡２ＦＢ＝２槡２ａ， ∵ＥＧ⊥ＧＢ，∠ＥＢＧ＝∠ＡＢＥ＋∠ＡＢＮ＝４５°，∴ＧＢ＝ＥＧ＝ａ， ∵ＮＢ＝槡３ａ，∴ＮＧ＝ＡＥ＝ＥＦ＝ＭＤ＝（槡３－１）ａ， 在Ｒｔ△ＥＦＭ中，ＥＭ＝ ＦＭ２－ＥＦ槡 ２＝（槡３＋１）ａ，∴ＡＤ＝ＡＥ＋ＥＭ＋ＭＤ＝２ＡＥ＋ＥＭ＝（３槡３－１）ａ． 同理，如解图２，当点Ｆ落在ＢＣ下方时，过点Ｂ作ＢＯ⊥ＡＤ，ＡＤ＝（３槡３＋１）ａ． ∴ｍ＝ＡＤＡＮ＝３槡３±１，即ｍ的值为３槡３＋１或３槡３－１． １８ 培优册·四川数学 重 难 专 题 篇 针对训练 １．（２０２３成都七中九年级开学考）在△ＡＢＣ中，延长 ＡＣ到 Ｄ，使 ＣＤ＝ＡＢ，Ｅ是 ＡＤ上方，ＢＣ右 侧一点，且∠Ａ＝∠ＢＣＥ＝∠Ｄ，连接ＢＥ． （１）如图１，求证：△ＡＢＣ≌△ＤＣＥ． （２）