专题5 二次函数与几何图形的综合探究-【一战成名新中考】2024四川中考数学·培优册

培优册·四川数学 重 难 专 题 篇 专题５　二次函数与几何图形的综合探究 ［成都必考］ 考 向 １　线段问题（含最值）［成都２０１８．２８（２）］ １．（２０２３天津）已知抛物线ｙ＝－ｘ２＋ｂｘ＋ｃ（ｂ，ｃ为常数，ｃ＞１）的顶点为Ｐ，与ｘ轴相交于Ａ，Ｂ 两点（点Ａ在点Ｂ的左侧），与ｙ轴相交于点Ｃ，抛物线上的点Ｍ的横坐标为ｍ，且－ｃ＜ｍ＜ ｂ ２，过点Ｍ作ＭＮ⊥ＡＣ，垂足为Ｎ． （１）若ｂ＝－２，ｃ＝３． ①求点Ｐ和点Ａ的坐标； ②当ＭＮ＝槡２时，求点Ｍ的坐标． （２）若点Ａ的坐标为（－ｃ，０），且ＭＰ∥ＡＣ，当ＡＮ＋３ＭＮ＝９槡２时，求点Ｍ的坐标． ②如解图１，过点Ｍ作ＭＥ⊥ｘ轴于点Ｅ，交ＡＣ于点Ｆ， ∵Ａ（－３，０），Ｃ（０，３），∴ＯＡ＝ＯＣ， ∴在Ｒｔ△ＡＯＣ中，∠ＯＡＣ＝４５°，∴在Ｒｔ△ＡＥＦ中，ＥＦ＝ＡＥ， ∵抛物线上的点Ｍ的横坐标为ｍ，其中－３＜ｍ＜－１， ∴Ｍ（ｍ，－ｍ２－２ｍ＋３），Ｅ（ｍ，０）， ∴ＥＦ＝ＡＥ＝ｍ－（－３）＝ｍ＋３，∴Ｆ（ｍ，ｍ＋３）， ∴ＦＭ＝（－ｍ２－２ｍ＋３）－（ｍ＋３）＝－ｍ２－３ｍ， ∵在Ｒｔ△ＦＭＮ中，∠ＭＦＮ＝４５°，∴ＦＭ＝槡２ＭＮ＝槡２×槡２＝２，∴－ｍ ２－３ｍ＝２， 解得ｍ１＝－２，ｍ２＝－１（舍去），∴点Ｍ的坐标为（－２，３）； （２）∵点Ａ（－ｃ，０）在抛物线ｙ＝－ｘ２＋ｂｘ＋ｃ上，其中ｃ＞１， ∴－ｃ２－ｂｃ＋ｃ＝０，得ｂ＝１－ｃ， ∴抛物线的解析式为ｙ＝－ｘ２＋（１－ｃ）ｘ＋ｃ＝－（ｘ－１－ｃ２ ） ２＋（１＋ｃ） ２ ４ ， ∴Ｍ（ｍ，－ｍ２＋（１－ｃ）ｍ＋ｃ），其中－ｃ＜ｍ＜１－ｃ２ ． 顶点Ｐ的坐标为（１－ｃ２ ， （１＋ｃ）２ ４ ），对称轴为直线ｌ：ｘ＝ １－ｃ ２ ． 如解图２，连接ＭＰ，过点Ｍ作ＭＱ⊥ｌ于点Ｑ， 则∠ＭＱＰ＝９０°，Ｑ（１－ｃ２ ，－ｍ ２＋（１－ｃ）ｍ＋ｃ）， 由ＭＰ∥ＡＣ， 可得∠ＰＭＱ＝４５°，∴ＭＱ＝ＱＰ， ∴１－ｃ２ －ｍ＝ （１＋ｃ）２ ４ －［－ｍ ２＋（１－ｃ）ｍ＋ｃ］，即（ｃ＋２ｍ）２＝１， 解得ｃ１＝－２ｍ－１，ｃ２＝－２ｍ＋１（舍去）， 过点Ｍ作ＭＥ⊥ｘ轴于点Ｅ，交ＡＣ于点Ｆ， 则点Ｅ（ｍ，０），点Ｆ（ｍ，－ｍ－１），点Ｍ（ｍ，ｍ２－１）， ∴ＡＮ＋３ＭＮ＝ＡＦ＋ＦＮ＋３ＭＮ＝槡２ＥＦ＋２槡２ＦＭ＝９槡２， ∴槡２（－ｍ－１）＋２槡２（ｍ ２－１＋ｍ＋１）＝９槡２， 即２ｍ２＋ｍ－１０＝０，解得ｍ１＝－ ５ ２，ｍ２＝２（舍去），∴点Ｍ的坐标为（－ ５ ２， ２１ ４）． ５６ 培优册·四川数学 重 难 专 题 篇 ２．（２０２３眉山）在平面直角坐标系中，已知抛物线ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ与ｘ轴交于点Ａ（－３，０），Ｂ（１， ０）两点，与ｙ轴交于点Ｃ（０，３），点Ｐ是抛物线上的一个动点． （１）求抛物线的表达式； （２）当点Ｐ在直线ＡＣ上方的抛物线上时，连接ＢＰ交ＡＣ于点Ｄ，如图，当ＰＤＤＢ的值最大时，求 点Ｐ的坐标及ＰＤＤＢ的最大值； （３）过点Ｐ作ｘ轴的垂线交直线ＡＣ于点Ｍ，连接ＰＣ，将△ＰＣＭ沿直线ＰＣ翻折，当点Ｍ的对 应点Ｍ′恰好落在ｙ轴上时，请直接写出此时点Ｍ的坐标． 　　第２题图 备用图 解：（１）∵抛物线ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ与 ｘ轴交于点 Ａ（－３，０）， Ｂ（１，０）两点，与ｙ轴交于点Ｃ（０，３）， ∴ ９ａ－３ｂ＋ｃ＝０， ａ＋ｂ＋ｃ＝０， ｃ＝３ { ， 解得 ａ＝－１， ｂ＝－２， ｃ＝３ { ， ∴该抛物线的表达式为ｙ＝－ｘ２－２ｘ＋３； （２）设直线ＡＣ的表达式为ｙ＝ｋｘ＋ｎ， 则 －３ｋ＋ｎ＝０， ｎ＝３{ ， 解得 ｋ＝１，ｎ＝３{ ， ∴直线ＡＣ的表达式为ｙ＝ｘ＋３， 如解图１，过点Ｐ作ＰＥ∥ｘ轴交直线ＡＣ于点Ｅ， 设Ｐ（ｔ，－ｔ２－２ｔ＋３），则Ｅ（－ｔ２－２ｔ，－ｔ２－２ｔ＋３）， ∴ＰＥ＝－ｔ２－２ｔ－ｔ＝－ｔ２－３ｔ， ∵Ａ（－３，０），Ｂ（１，０），∴ＡＢ＝１－（－３）＝４， ∵ＰＥ∥ｘ轴，∴△ＥＰＤ∽△ＡＢＤ， ∴ＰＤＤＢ＝ ＰＥ ＡＢ，∴ ＰＤ ＤＢ＝ －ｔ２－３ｔ ４ ＝－ １ ４（ｔ＋ ３ ２） ２＋９１６， ∵－１４＜０，∴当ｔ＝－ ３ ２时， ＰＤ ＤＢ的值最大，最大值为 ９ １６，此时点Ｐ的坐标为（－ ３ ２， １５ ４）； （３）点Ｍ的坐标为（槡２－３，槡２）或（－槡２－３，－槡２）． 【解法提示】如解图２，设Ｐ（ｍ，－ｍ２－２ｍ＋３），则Ｍ（ｍ，ｍ＋３），∴ＰＭ＝｜（－ｍ２－２ｍ＋３）－（ｍ＋３）｜＝｜ ｍ２＋３ｍ｜，过点Ｍ作ＭＧ⊥ｙ轴，∵∠ＭＣＯ＝４５°，∴△ＭＧＣ是等腰直角三角形，ＣＭ＝ ｍ２＋ｍ槡 ２＝槡２｜ｍ ｜，∵△ＰＣＭ沿直线ＰＣ翻折，点 Ｍ的对应点为点 Ｍ′，Ｍ′落在 ｙ轴上，ＰＭ∥ｙ轴，∴ＰＭ∥ＣＭ′，ＰＭ＝ ＰＭ′，ＣＭ＝ＣＭ′，∠