专题4 圆的综合-【一战成名新中考】2024四川中考数学·培优册

培优册·四川数学 重 难 专 题 篇 专题４　圆的综合 ［成都必考］ 考 向 １　圆的基本定理的综合（成都２０２３．１７） 典例精析 例：（２０２１苏州改编）如图，四边形ＡＢＣＤ内接于⊙Ｏ，∠１＝∠２，延长ＢＣ到点Ｅ，使得ＣＥ＝ＡＢ， 连接ＥＤ． （１）求证：ＢＤ＝ＥＤ； 【思路剖析】题目给出了一组不在同一三角形中的相等线段，要证明线段相等思考证明全 等，根据圆内接四边形的性质可得一组内角相等，再结合∠１＝∠２得弦ＡＤ＝ＣＤ，即可证明 △ＡＢＤ≌△ＣＥＤ． 【自主解答】证明：∵四边形ＡＢＣＤ内接于⊙Ｏ， ∴∠Ａ＝∠ＤＣＥ， ∵∠１＝∠２，∴ ) ＡＤ＝ ) ＤＣ，∴ＡＤ＝ＤＣ， 在△ＡＢＤ和△ＣＥＤ中， ＡＢ＝ＣＥ， ∠Ａ＝∠ＤＣＥ， ＡＤ＝ＤＣ { ， ∴△ＡＢＤ≌△ＣＥＤ（ＳＡＳ），∴ＢＤ＝ＥＤ； （２）若ＡＢ＝４，ＢＣ＝６，∠ＡＢＣ＝６０°，求ｔａｎ∠ＤＣＢ的值及⊙Ｏ的半径． 【思路剖析】过点Ｄ作ＢＥ的垂线ＤＭ，得到含∠ＤＣＢ的直角三角形ＤＣＭ，由题知△ＤＢＭ是 含３０°角的直角三角形，△ＤＢＥ是等腰三角形，结合三线合一得ＢＭ的长，即得ＤＭ与ＣＭ的 长，即可求得ｔａｎ∠ＤＣＢ的值；连接ＯＣ，ＯＤ可知△ＯＣＤ是等边三角形，在Ｒｔ△ＣＤＭ中求得 ＣＤ的长即为⊙Ｏ的半径． 【自主解答】如解图，过点Ｄ作ＤＭ⊥ＢＥ于点Ｍ，连接ＯＣ，ＯＤ， ∵ＡＢ＝４，ＢＣ＝６，ＣＥ＝ＡＢ，∴ＢＥ＝ＢＣ＋ＥＣ＝１０， ∵ＢＤ＝ＥＤ，ＤＭ⊥ＢＥ，∴ＢＭ＝ＭＥ＝１２ＢＥ＝５，∴ＣＭ＝ＢＣ－ＢＭ＝１， ∵∠ＡＢＣ＝６０°，∠１＝∠２，∴∠２＝３０°， ∴ＤＭ＝ＢＭ·ｔａｎ∠２＝５×槡３３＝ ５槡３ ３，∴ｔａｎ∠ＤＣＢ＝ ＤＭ ＣＭ＝ ５槡３ ３． ∴ＣＤ＝ ＤＭ２＋ＣＭ槡 ２＝２槡２１３ ， ∵∠ＣＯＤ＝２∠２＝６０°，∴△ＯＣＤ是等边三角形， ８５ 培优册·四川数学 重 难 专 题 篇 针对训练 １．（２０２２呼和浩特改编）如图，在△ＡＢＣ中，ＡＢ＝ＡＣ，以ＡＢ为直径的⊙Ｏ交ＢＣ于点Ｄ，交线段 ＣＡ的延长线于点Ｅ，连接ＢＥ． （１）求证：ＢＤ＝ＣＤ； （２）若ｔａｎＣ＝１２，ＢＤ＝４，求ＡＢ及ＡＥ的长． 第１题图 （１）证明：如解图，连接ＡＤ，∵ＡＢ是⊙Ｏ的直径，∴∠ＡＤＢ＝９０°， ∵ＡＢ＝ＡＣ，∴ＢＤ＝ＤＣ； （２）解：∵ＤＣ＝ＢＤ＝４，∴ＢＣ＝ＤＢ＋ＤＣ＝８， 在Ｒｔ△ＡＤＣ中，ｔａｎＣ＝１２，∴ＡＤ＝ＣＤ·ｔａｎＣ＝４× １ ２＝２， ∴ＡＣ＝ ＡＤ２＋ＣＤ槡 ２＝ ２２＋４槡 ２＝２槡５，∴ＡＢ＝ＡＣ＝２槡５． ∵ＡＢ是⊙Ｏ的直径，∴∠ＡＥＢ＝９０°，∵∠ＡＤＣ＝∠ＡＥＢ＝９０°，∠Ｃ＝∠Ｃ， ∴△ＣＥＢ∽△ＣＤＡ，∴ＣＥＣＤ＝ ＣＢ ＣＡ，∴ ＣＥ ４＝ ８ ２槡５ ，解得ＣＥ＝１６槡５５ ， ∴ＡＥ＝ＣＥ－ＡＣ＝６槡５５，∴ＡＥ的长为 ６槡５ ５． ２．如图，ＡＢ为⊙Ｏ的直径，ＣＤ为弦，ＣＤ⊥ＡＢ于点Ｅ，连接ＤＯ并延长交⊙Ｏ于点Ｆ，连接ＡＦ交 ＣＤ于点Ｇ，ＣＧ＝ＡＧ，连接ＡＣ． （１）求证：ＡＣ∥ＤＦ； （２）若ＡＢ＝１２，求ＡＣ和ＧＤ的长． 第２题图 （１）证明：∵ＡＧ＝ＣＧ，∴∠ＤＣＡ＝∠ＣＡＦ， ∵ ) ＣＦ＝ ) ＣＦ，∴∠ＣＡＦ＝∠ＣＤＦ，∴∠ＡＣＤ＝∠ＣＤＦ，∴ＡＣ∥ＤＦ； （２）解：如解图，连接ＣＯ，∵ＡＢ⊥ＣＤ，∴ ) ＡＣ＝ ) ＡＤ，ＣＥ＝ＤＥ， ∵∠ＤＣＡ＝∠ＣＡＦ，∴ ) ＡＤ＝ ) ＣＦ，∴ ) ＡＣ＝ ) ＡＤ＝ ) ＣＦ，∴∠ＡＯＤ＝∠ＡＯＣ＝∠ＣＯＦ， ∵ＤＦ是⊙Ｏ的直径，∴∠ＡＯＤ＝∠ＡＯＣ＝∠ＣＯＦ＝６０°， ∵ＯＡ＝ＯＣ，∴△ＡＯＣ是等边三角形，∴ＡＣ＝ＡＯ＝６，∠ＣＡＯ＝６０°， ∵ＣＥ⊥ＡＯ，∴ＡＥ＝ＥＯ＝３，∠ＡＣＤ＝３０°，∴ＣＥ＝３槡３＝ＤＥ， ∵ＡＧ２＝ＧＥ２＋ＡＥ２，∴ＡＧ２＝（３槡３－ＡＧ） ２＋９，∴ＡＧ＝２槡３，∴ＧＥ＝槡３，∴ＤＧ＝４槡３． ９５ 培优册·四川数学 重 难 专 题 篇 ３．（２０２２武汉改编）如图，在⊙Ｏ中，ＡＢ是直径，点Ｃ在圆上，ＡＤ，ＢＤ分别平分∠ＢＡＣ和∠ＡＢＣ， ＡＤ的延长线交⊙Ｏ于点Ｅ，连接ＢＥ． 第３题图 （１）求证：ＢＥ＝ＤＥ； （２）若ＡＢ＝１０，ＢＣ＝６，求ＡＣ与ＢＥ的长． （１）证明：∵ＡＤ，ＢＤ分别平分∠ＢＡＣ和∠ＡＢＣ， ∴∠ＣＡＥ＝∠ＢＡＤ，∠ＣＢＤ＝∠ＤＢＡ， ∵∠ＣＢＥ＝∠ＣＡＥ， ∴∠ＥＢＤ＝∠ＣＢＥ＋∠ＤＢＣ＝∠ＣＡＥ＋∠ＣＢＤ＝∠ＢＡＤ＋∠ＤＢＡ， ∵∠ＥＤＢ＝∠ＢＡＤ＋∠ＤＢＡ，∴∠ＥＢＤ＝∠ＥＤＢ，∴ＢＥ＝ＤＥ； （２）解：如解图，设ＡＥ与ＢＣ相交于点Ｆ，∵ＡＢ为⊙Ｏ的直径，∴∠ＡＣＢ＝９０°， 在Ｒｔ△ＡＢＣ中，ＡＣ＝ ＡＢ２－ＢＣ槡 ２＝ １０２－６槡 ２＝８． ∵ＡＦ平分∠ＢＡＣ，∴点Ｆ到ＡＣ和ＡＢ的距离相等，