专题3 反比例函数与一次函数的综合-【一战成名新中考】2024四川中考数学·培优册

培优册·四川数学 重 难 专 题 篇 专题３　一次函数与反比例函数的综合 ［成都必考］ 典例精析 例：（２０２３成都１８题１０分）如图，在平面直角坐标系ｘＯｙ中，直线ｙ＝－ｘ＋５与ｙ轴交于点Ａ， 与反比例函数ｙ＝ｋｘ的图象的一个交点为Ｂ（ａ，４），过点Ｂ作ＡＢ的垂线ｌ． （１）求点Ａ的坐标及反比例函数的表达式； 【思路剖析】将点Ｂ的坐标代入一次函数表达式即得ａ值，再将确定 后点Ｂ的坐标代入反比例函数表达式即可． 【自主解答】令ｘ＝０，则ｙ＝－ｘ＋５＝５，∴点Ａ的坐标为（０，５）， 将Ｂ（ａ，４）代入ｙ＝－ｘ＋５得，４＝－ａ＋５，∴ａ＝１，∴Ｂ（１，４）， 将Ｂ（１，４）代入ｙ＝ｋｘ得，４＝ ｋ １，解得ｋ＝４，∴反比例函数的表达式为ｙ＝ ４ ｘ； （２）若点Ｃ在直线ｌ上，且△ＡＢＣ的面积为５，求点Ｃ的坐标； 【思路剖析】由题知直线ｌ垂直ＡＢ，则△ＡＢＣ是以ＡＢ，ＢＣ为直角边的直角三角形，设出点Ｃ 的坐标，利用面积公式即可得点Ｃ的坐标．由于点Ｃ的位置不定，注意点Ｃ的坐标有两个． 【自主解答】∵直线ｙ＝－ｘ＋５与ｌ垂直，∴设直线ｌ的表达式为ｙ＝ｘ＋ｂ，代入Ｂ（１，４），得 ｂ＝３，即 ｙ ＝ｘ＋３．设点Ｃ的坐标为（ｔ，ｔ＋３），∴ＢＣ＝ （１－ｔ）２＋（４－ｔ－３）槡 ２＝槡２｜１－ｔ｜， ∵Ａ（０，５），Ｂ（１，４），∴ＡＢ＝ （１－０）２＋（４－５）槡 ２＝槡２， ∴Ｓ△ＡＢＣ＝ １ ２ＡＢ·ＢＣ＝ １ ２×槡２×槡２｜１－ｔ｜＝５，解得ｔ＝－４或ｔ＝６， 当ｔ＝－４时，ｔ＋３＝－１，当ｔ＝６时，ｔ＋３＝９，∴点Ｃ的坐标为（６，９）或（－４，－１）； （３）Ｐ是直线ｌ上一点，连接 ＰＡ，以 Ｐ为位似中心画△ＰＤＥ，使它与△ＰＡＢ位似，相似比为 ｍ．若点Ｄ，Ｅ恰好都落在反比例函数图象上，求点Ｐ的坐标及ｍ的值． 【思路剖析】根据位似图形对应点与位似中心三点共线可知点 Ｂ的对应点即为直线 ｌ与反 比例函数图象的另一个交点，联立直线ｌ的表达式及反比例函数的表达式即可得其坐标，再 根据位似图形对应角相等知直线ＤＥ与直线ＡＢ平行，求出直线ＤＥ的表达式即可得点Ｄ坐 标，再联立直线ＡＤ与直线 ｌ的表达式即可得点 Ｐ的坐标；求出一组对应线段的值即得 ｍ 的值． 【自主解答】∵点Ｄ为直线ＤＥ与反比例函数图象的另一个交点， ∴解方程组 ｙ＝４ｘ， ｙ＝－ｘ { －５ 得， ｘ＝－１， ｙ{ ＝－４或 ｘ＝－４，ｙ＝－１{ ，∴Ｄ（－１，－４）， ∴易得直线ＡＤ的表达式为ｙ＝９ｘ＋５， 解方程组 ｙ＝９ｘ＋５， ｙ＝ｘ{ ＋３ 得， ｘ＝－１４， ｙ＝１１４ { ， ∴Ｐ（－１４，１１４）， ∵Ｄ（－１，－４），Ｅ（－４，－１），∴ＤＥ＝３槡２，又∵ＡＢ＝槡２，∴ｍ＝ ＤＥ ＡＢ＝３． ２５ 培优册·四川数学 重 难 专 题 篇 针对训练 １．（２０２３广元）如图，已知一次函数 ｙ＝ｋｘ＋６的图象与反比例函数 ｙ＝ｍｘ（ｍ＞０）的图象交于 Ａ（３，４），Ｂ两点，与ｘ轴交于点Ｃ，将直线ＡＢ沿ｙ轴向上平移３个单位长度后与反比例函数 图象交于点Ｄ，Ｅ． 第１题图 （１）求ｋ，ｍ的值及Ｃ点坐标； （２）连接ＡＤ，ＣＤ，求△ＡＣＤ的面积． 解：（１）ｋ＝－２３，ｍ＝１２，点Ｃ的坐标为（９，０）；【解答过程见本书Ｐ１０７】 （２）Ｓ△ＡＣＤ＝９．【解答过程见本书Ｐ１０７】 ２．（２０２２成都１８题１０分）如图，在平面直角坐标系ｘＯｙ中，一次函数ｙ＝－２ｘ＋６的图象与反 比例函数ｙ＝ｋｘ的图象相交于Ａ（ａ，４），Ｂ两点． （１）求反比例函数的表达式及点Ｂ的坐标； （２）过点Ａ作直线ＡＣ，交反比例函数图象于另一点Ｃ，连接ＢＣ，当线段ＡＣ被ｙ轴分成长度比 为１∶２的两部分时，求ＢＣ的长； （３）我们把有两个内角是直角，且一条对角线垂直平分另一条对角线的四边形称为“完美筝 形”．设Ｐ是第三象限内的反比例函数图象上一点，Ｑ是平面内一点，当四边形ＡＢＰＱ是完美 筝形时，求Ｐ，Ｑ两点的坐标． 第２题图 备用图 （２）ＢＣ的长为４槡２或 ５槡１７ ２ ．【解答过程见本书 Ｐ１０８】 又∵∠ＥＦＢ＝∠ＢＦＮ＝９０°，∴△ＥＢＦ∽△ＢＮＦ，∴ＢＦＥＦ ＝ＦＮＢＦ， ∴ＦＮ＝２×２４ ＝１，∴Ｎ（０，１），∴直线 ＢＮ的表达式为 ｙ ＝１２ｘ＋１， 联立方程组得 ｙ＝４ｘ， ｙ＝１２ｘ＋１ { ，解得 ｘ１＝－４，ｙ１＝－１{ ，ｘ２＝２，ｙ２＝２{ ，∴Ｐ（－４，－１），∴直线ＡＰ的表达式为ｙ＝ｘ＋３， ∵ＡＰ垂直平分ＢＱ，∴直线ＢＱ的表达式为ｙ＝－ｘ＋４，令ｘ＋３＝－ｘ＋４，解得ｘ＝１２，∴Ｈ（ １ ２， ７ ２）， ∵点Ｈ是ＢＱ的中点，点Ｂ（２，２），∴Ｑ（－１，５）． 当∠ＢＡＱ＝∠ＢＰＱ＝９０°时，不存在ＢＱ垂直平分ＡＰ，∴点Ｐ，Ｑ的坐标分别为（－４，－１），（－１，５