专题2 几何计算中的折叠问题-【一战成名新中考】2024四川中考数学·培优册

培优册·四川数学 重 难 专 题 篇 针对训练 １．为了预防某种病毒的感染，人员之间需要保持一米以上的安全距离，某公司会议室共有四行 四列桌椅，并且相邻两个座椅之间的距离超过一米，为了保证更加安全，公司规定在此会议 室开会时，每一行、每一列不能有连续三人就座．例如图中第一列所示情况就不满足条件（其 中“√”表示就座人员），根据该公司要求，该会议室最多可容纳的就座人数为 （Ｂ ） Ａ．１２ Ｂ．１１ Ｃ．１０ Ｄ．９ 第１题图 　　　　 第２题图 ２．（２０１９成都２５题４分）如图，在平面直角坐标系ｘＯｙ中，我们把横、纵坐标都是整数的点称为 “整点”，已知点 Ａ的坐标为（５，０），点 Ｂ在 ｘ轴的上方，△ＯＡＢ的面积为１５２，则△ＯＡＢ内部 （不含边界）的整点的个数为　　　　． 专题２　几何计算中的折叠问题 ［成都２０２３．２２，２０２１．２４，２０１８．２４］ 典例精析 例１：（２０２３成都２２题４分）如图，在Ｒｔ△ＡＢＣ中，∠ＡＢＣ＝９０°，ＣＤ平分∠ＡＣＢ交ＡＢ于点Ｄ， 过Ｄ作ＤＥ∥ＢＣ交ＡＣ于点Ｅ，将△ＤＥＣ沿ＤＥ折叠得到△ＤＥＦ，ＤＦ交ＡＣ于点Ｇ．若ＡＧＧＥ＝ ７ ３，则ｔａｎＡ＝　　　　． 【思路剖析】由平行和角平分线可得△ＣＤＥ是等腰三角形，再结合折叠图形的对应角相等 可得相似三角形．过点Ｇ作ＤＥ的垂线ＧＭ，则由△ＥＧＭ∽△ＥＡＤ得出ＤＭ与ＥＭ之间的数 量关系，设出未知数，在 Ｒｔ△ＤＧＭ和 Ｒｔ△ＥＧＭ中，以 ＧＭ为桥梁利用勾股定理将 ＥＭ和 ＧＭ用含未知数的式子表示出来，可得ｔａｎ∠ＥＧＭ，即ｔａｎＡ的值． 【答案】　　 【自主解答】如解图，过点Ｇ作ＧＭ⊥ＤＥ于点Ｍ，∵ＣＤ平分∠ＡＣＢ交ＡＢ于 点Ｄ，ＤＥ∥ＢＣ，∴∠１＝∠２，∠２＝∠３，∴∠１＝∠３，∴ＥＤ＝ＥＣ，∵将△ＤＥＣ 沿ＤＥ折叠得到△ＤＥＦ，∴∠３＝∠４，∴∠１＝∠４，又∵∠ＤＧＥ＝∠ＣＧＤ，∴ △ＤＧＥ∽△ＣＧＤ，∴ＤＧＣＧ＝ ＧＥ ＤＧ，∴ＤＧ ２＝ＧＥ·ＧＣ，∵∠ＡＢＣ＝９０°，ＤＥ∥ＢＣ，∴ ＡＤ⊥ＤＥ，∴ＡＤ∥ＧＭ，∴ＡＧＧＥ＝ ＤＭ ＥＭ，∠ＭＧＥ＝∠Ａ，∵ ＡＧ ＧＥ＝ ７ ３，∴ ＤＭ ＥＭ＝ ７ ３，设ＧＥ＝３ｋ，ＥＭ＝３ｎ，则ＡＧ ＝７ｋ，ＤＭ＝７ｎ，∴ＥＣ＝ＤＥ＝１０ｎ，∴ＤＧ２＝ＧＥ·ＧＣ＝３ｋ（３ｋ＋１０ｎ）＝９ｋ２＋３０ｋｎ，在 Ｒｔ△ＤＧＭ中， ＧＭ２＝ＤＧ２－ＤＭ２，在 Ｒｔ△ＧＭＥ中，ＧＭ２＝ＧＥ２－ＥＭ２，∴ＤＧ２－ＤＭ２＝ＧＥ２－ＥＭ２，即９ｋ２＋３０ｋｎ－ （７ｎ）２ ＝（３ｋ）２ －（３ｎ）２，解得 ｎ＝３４ｋ，∴ ＥＭ ＝ ９ ４ｋ，∵ ＧＥ＝３ｋ，∴ ＧＭ ＝ ＧＥ ２－ＥＭ槡 ２ ＝ （３ｋ）２－（９４ｋ）槡 ２＝３槡７４ｋ，∴ｔａｎＡ＝ｔａｎ∠ＥＧＭ＝ ＥＭ ＧＭ＝ ９ ４ｋ ３槡７ ４ｋ ＝３槡７７． ９４ 培优册·四川数学 重 难 专 题 篇 櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 毴 毴毴 毴 拓展归纳 特殊图形中的折叠（以矩形为例） 类型 图形 结论 Ｂ′落在矩形的 边 上 （折 痕 ＡＥ） （１）△ＡＢＥ≌△ＡＢ′Ｅ； （２）四边形ＡＢＥＢ′是正方形； （３）∠ＢＡＥ＝∠ＢＥＡ＝４５°； （４）ＣＥ，ＡＤ，ＡＢ的关系：ＣＥ＝ＡＤ－ＡＢ （１）△ＡＢＥ≌△ＡＢ′Ｅ； （２）Ｋ型图：△ＡＤＢ′∽△Ｂ′ＣＥ； （３）直角三角形（常用于勾股定理）：Ｒｔ△ＡＤＢ′，Ｒｔ△Ｂ′ＣＥ Ｂ′落在对角线 上（折痕ＡＥ） （１）△ＡＢＥ≌△ＡＢ′Ｅ （２）已知ＡＢ，ＢＣ，求ＢＥ的方法： ①在Ｒｔ△ＣＥＢ′中通过勾股定理求解； ②利用△ＣＥＢ′∽△ＣＡＢ求解 Ｂ′落在对称轴 上（折痕 ＭＮ， ＡＥ） （１）∠ＢＡＥ，∠ＥＡＢ′，∠Ｂ′ＡＦ的度数为３０°； （２）△ＡＢＢ′和△ＡＥＦ是等边三角形； （３）当点Ｆ与点Ｄ重合时，ＢＣＡＢ＝ ２槡３ ３ Ｂ′的轨迹为圆 （Ｅ为定点，Ｆ 为 ＢＣ 上 动 点，折痕ＥＦ） （１）△ＢＥＦ≌△Ｂ′ＥＦ； （２）点Ｂ的轨迹为以Ｅ为圆心，ＢＥ长为半径的圆弧； （３）Ｂ′Ｄ的最小值为ＤＥ－ＢＥ 两次折叠（折 叠后顶点重