专题1 代数推理与应用-【一战成名新中考】2024四川中考数学·培优册

培优册·四川数学 　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　模块三　重难专题篇 重 难 专 题 篇 专题１　代数推理与应用 ［成都６年５考］ 考 向 １　规律探索（成都２０２０．２３，２０１８．２３） 典例精析 例：（２０２０成都２３题４分）如图，六边形ＡＢＣＤＥＦ是正六边形，曲线ＦＡ１Ｂ１Ｃ１Ｄ１Ｅ１Ｆ１…叫做“正 六边形的渐开线”，ＦＡ ) １，Ａ１Ｂ ) １，Ｂ１Ｃ ) １，Ｃ１Ｄ ) １，Ｄ１Ｅ ) １，Ｅ１Ｆ ) １…的圆心依次按Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ，Ｅ，Ｆ循环， 且每段弧所对的圆心角均为正六边形的一个外角．当 ＡＢ＝１时，曲线 ＦＡ１Ｂ１Ｃ１Ｄ１Ｅ１Ｆ１的长 度是　　　　． 【思路剖析】由题可知所求曲线由６段弧组成，弧所对的圆心角均为 ６０°，半径分别为１，２，３，４，５，６，从而可求出每段弧长，找出规律即可 求出曲线的长． 【答案】７π 【自主解答】ＦＡ ) １的长为 ６０×π×１ １８０ ＝ π ３，Ａ１Ｂ ) １的长为 ６０×π×２ １８０ ＝ ２π ３，Ｂ１Ｃ ) １的 长为 ６０×π×３ １８０ ＝ ３π ３，Ｃ１Ｄ ) １的长为 ６０×π×４ １８０ ＝ ４π ３，Ｄ１Ｅ ) １的长为 ６０×π×５ １８０ ＝ ５π ３，Ｅ１Ｆ ) １的长为 ６０×π×６ １８０ ＝ ６π ３，∴曲线ＦＡ１Ｂ１Ｃ１Ｄ１Ｅ１Ｆ１的长度为 π ３＋ ２π ３＋…＋ ６π ３＝ ２１π ３ ＝７π． 针对训练 １．（２０１８成都２３题４分）已知ａ＞０，Ｓ１＝ １ ａ，Ｓ２＝－Ｓ１－１，Ｓ３＝ １ Ｓ２ ，Ｓ４＝－Ｓ３－１，Ｓ５＝ １ Ｓ４ ，…（即当 ｎ为大于１的奇数时，Ｓｎ＝ １ Ｓｎ－１ ；当ｎ为大于１的偶数时，Ｓｎ＝－Ｓｎ－１－１），按此规律，Ｓ２０１８＝ 　　　　　　． ２．（２０２３内江）对于正数ｘ，规定ｆ（ｘ）＝２ｘｘ＋１，例如：ｆ（２）＝ ２×２ ２＋１＝ ４ ３，ｆ（ １ ２）＝ ２×１２ １ ２＋１ ＝２３，ｆ（３）＝ ２×３ ３＋１＝ ３ ２，ｆ（ １ ３）＝ ２×１３ １ ３＋１ ＝１２，计算：ｆ（ １ １０１）＋ｆ（ １ １００）＋ｆ（ １ ９９）＋… ＋ｆ（ １ ３）＋ｆ（ １ ２）＋ｆ（１）＋ ｆ（２）＋ｆ（３）＋…＋ｆ（９９）＋ｆ（１００）＋ｆ（１０１）＝ （Ｃ ） Ａ．１９９　　　　　　　Ｂ．２００　　　　　　　Ｃ．２０１　　　　　　　Ｄ．２０２ ７４ 培优册·四川数学 重 难 专 题 篇 ３．（２０２３德阳）在“点燃我的梦想，数学皆有可能”数学创新设计活动中，“智多星”小强设计了 一个数学探究活动；对依次排列的两个整式ｍ，ｎ按如下规律进行操作： 第１次操作后得到整式串ｍ，ｎ，ｎ－ｍ； 第２次操作后得到整式串ｍ，ｎ，ｎ－ｍ，－ｍ； 第３次操作后…… 其操作规则为：每次操作增加的项，都是用上一次操作得到的最末项减去其前一项的差，小 强将这个活动命名为“回头差”游戏． 则该“回头差”游戏第２０２３次操作后得到的整式串各项之和是 （Ｄ ） Ａ．ｍ＋ｎ Ｂ．ｍ Ｃ．ｎ－ｍ Ｄ．２ｎ ４．（２０２３广安）在平面直角坐标系中，点Ａ１，Ａ２，Ａ３，Ａ４…在ｘ轴的正半轴上，点Ｂ１，Ｂ２，Ｂ３…在直 线ｙ＝槡３３ｘ（ｘ≥０）上，若点Ａ１的坐标为（２，０），且△Ａ１Ｂ１Ａ２，△Ａ２Ｂ２Ａ３，△Ａ３Ｂ３Ａ４…均为等边三 角形，则点Ｂ２０２３的纵坐标为　２ ２０２２ 槡３　． 　 第４题图 考 向 ２　无规律代数推理（成都２０２３．２３，２０２１．２５，２０１９．２５） 典例精析 例：（２０２３成都２３题４分）定义：如果一个正整数能表示为两个正整数ｍ，ｎ的平方差，且ｍ－ｎ ＞１，则称这个正整数为“智慧优数”．例如，１６＝５２－３２，１６就是一个智慧优数，可以利用ｍ２ －ｎ２＝（ｍ＋ｎ）（ｍ－ｎ）进行研究．若将智慧优数从小到大排列，则第３个智慧优数是　　　　；第 ２３个智慧优数是　　　　． 【思路剖析】利用ｍ，ｎ之间的关系与平方差公式将ｍ表示成含ｎ的式子，化简后写出当ｍ，ｎ 分别取正整数时产生的智慧优数．应注意所产生的智慧优数可能有交叉和重复，所以不能 按照“规律”来写第３个和第２３个智慧优数，应一一列出按顺序排列后确定． 【答案】１５，５７ 【自主解答】由ｍ－ｎ＞１知，符合定义的正整数ｍ的最小值为３，ｎ的最小值为１，则ｍ－ｎ≥２，∴ｍ≥ｎ ＋２．当ｍ＝ｎ＋２时，由（ｎ＋２）２－ｎ２＝４＋４ｎ产生的智慧优数为：８，１２，１６，２０，２４，２８，３２，３６，４０，４４，４８， ５２，５６，６０，６４，６８，７２，７６，８０，…当 ｍ＝ｎ＋３时，由（ｎ＋３）２－ｎ２＝９＋６ｎ产生的智慧优数为：１５，２１，２７， ３３，３９，４５，５１，５７，６３，６９，７５，８１，…当ｍ＝ｎ＋４时，由（ｎ＋４）２－ｎ２＝１６＋８ｎ产生的智慧优