技能6 轨迹问题中的“主从联动”(瓜豆原理)-【一战成名新中考】2024四川中考数学·培优册

培优册·四川数学 技 能 方 法 篇 技能６　轨迹问题中的“主从联动”（瓜豆原理） 类 型 １　直线轨迹（成都２０２３．２６） 模型解读 问题：（１）如图１，点Ａ是直线ｌ外一定点，点Ｐ是直线ｌ上一动点，连接ＡＰ，取ＡＰ的中点Ｑ，当 点Ｐ在直线ｌ上运动时，点Ｑ的轨迹是什么图形？ 图１ 　　　　　　 图２ （２）如图２，点Ａ是直线ｌ外一定点，点Ｐ是直线ｌ上一动点，连接ＡＰ，以ＡＰ为腰作等腰三 角形ＡＰＭ，且∠ＰＡＭ＝α，当点Ｐ在直线ｌ上运动时，点Ｍ的轨迹是什么图形？ 思路：（１）定点到定直线的距离相等；（２）定角等比构造全等． 作法：（１）如图３，过点Ａ，Ｑ分别作直线ｌ的垂线ＡＣ，ＱＢ，则ＱＢ∥ＡＣ，且ＱＢ＝１２ＡＣ，∵ＡＣ是定 值，∴ＱＢ是定值，即点Ｑ到直线ｌ的距离始终相等，∴点Ｑ的轨迹是平行于直线ｌ的一条 直线． 图３ 　　　　　　 图４ （２）如图４，当点 Ｐ运动到点 Ｐ′时，以 ＡＰ′为腰作等腰三角形 ＡＰ′Ｍ′，且∠Ｐ′ＡＭ′＝α， ∴∠ＰＡＰ′＝∠ＭＡＭ′，∵ＡＰ＝ＡＭ，ＡＰ′＝ＡＭ′，∴△ＡＰＰ′≌△ＡＭＭ′（ＳＡＳ），∴∠ＡＰＰ′＝ ∠ＡＭＭ′＝１２（１８０°－α），∴∠ＰＭＭ′＝∠ＡＭＰ＋∠ＡＭＭ′＝１８０°－α，∴直线 ＭＭ′与直线 ｌ 的夹角为α，即点Ｍ的轨迹为直线ＭＭ′． 总结：定点Ａ为直线（线段）外一点，主动点 Ｐ为直线上一点，从动点 Ｑ为任意一点，若∠ＰＡＱ 为定角， ＡＱ ＡＰ为定值，则从动点Ｑ的轨迹为一条直线（线段）．如问题（１）中定角为０，定值为 １ ２；问题（２）中定角为α，定值为１． 典例精析 例：如图，在矩形ＡＢＣＤ中，ＡＢ＝４，∠ＤＣＡ＝３０°，点Ｆ是对角线ＡＣ上的一个动点，连接ＤＦ，以 ＤＦ为斜边作∠ＤＦＥ＝３０°的直角三角形ＤＥＦ，使点Ｅ和点Ａ位于ＤＦ两侧，点Ｆ从点Ａ到 点Ｃ的运动过程中，点Ｅ的运动路径长是　　　　． ３４ 培优册·四川数学 技 能 方 法 篇 【思路剖析】点Ｆ从点Ａ到点Ｃ，运动轨迹为线段，∠ＤＦＥ是定值，且ＤＦＤＥ是定值，∴点Ｅ的轨 迹也是一条线段，起点为点Ｆ与点Ａ重合时点Ｅ的位置，终点为点Ｆ与点Ｃ重合时点Ｅ的 位置，再通过解直角三角形求得轨迹长． 【答案】　　 【自主解答】如解图１，由题知，在运动过程中∠ＤＦＥ＝∠ＤＦ′Ｅ′＝３０°，ＤＦＤＥ＝ ＤＦ′ ＤＥ′＝２，∴∠ＦＤＥ＝∠Ｆ′ ＤＥ′，∴∠Ｆ′ＤＦ＝∠Ｅ′ＤＥ，∴△ＤＦＦ′∽△ＤＥＥ′，∴∠ＤＦ′Ｆ＝∠ＤＥ′Ｅ，∵Ｆ，Ｆ′都在线段 ＡＣ上，∴Ｅ，Ｅ′ 也在同一条线段上．如解图２，点Ｅ的运动轨迹为线段 ＥＥ′的长．∵在矩形 ＡＢＣＤ中，ＡＢ＝４，∠ＤＣＡ＝ ３０°，ＡＢ∥ＤＣ，ＡＤ＝ＢＣ，∴∠ＣＡＢ＝∠ＤＣＡ＝３０°，∴ＢＣ＝４槡３３，当点Ｆ与点Ａ重合时，在Ｒｔ△ＡＤＥ中， ＡＤ＝ＢＣ＝４槡３３，∠ＤＡＥ＝３０°，∠ＡＤＥ＝６０°，∴ＤＥ＝ ２槡３ ３ ，∠ＣＤＥ＝３０°；当点 Ｆ′与点 Ｃ重合时，∠Ｅ′ ＤＣ＝６０°，∴∠Ｅ′ＤＥ＝９０°，∵∠ＤＥ′Ｅ＝∠ＤＦ′Ｆ＝３０°，∴在Ｒｔ△ＤＥＥ′中，ＥＥ′＝２ＤＥ＝４槡３３ ． 针对训练 １．如图，正方形ＡＢＣＤ的边长为４，Ｅ为 ＢＣ上一点，且 ＢＥ＝１，Ｆ为 ＡＢ边上的一个动点，连接 ＥＦ，以ＥＦ为边向右侧作等边三角形ＥＦＧ，连接ＣＧ，则 ＣＧ的最小值为　　　　． 　 第１题图 ２．如图，在矩形ＡＢＣＤ中，ＡＢ＝３，ＡＤ＝４，点Ｅ在边ＡＤ上，ＡＥ∶ＥＤ＝１∶３，动点Ｐ从点Ａ出发，沿 ＡＢ方向运动到点Ｂ停止，过点Ｅ作 ＥＦ垂直 ＰＥ交射线 ＢＣ于点 Ｆ，如果 Ｍ是线段 ＥＦ的中 点，那么点Ｐ在运动的过程中，点Ｍ运动的路径长为　　　　． 　 第２题图 ４４ 培优册·四川数学 技 能 方 法 篇 类 型 ２　圆轨迹 模型解读 问题：（１）如图１，点Ａ是⊙Ｏ外一定点，点Ｐ是半径为ｒ的⊙Ｏ上一动点，连接ＡＰ，取ＡＰ的中 点Ｑ，当点Ｐ在⊙Ｏ上运动时，点Ｑ的运动轨迹是什么图形？ 图１ 　　　　　　 图２ （２）如图２，点Ａ是⊙Ｏ外一定点，点Ｐ是半径为ｒ的⊙Ｏ上一动点，连接ＡＰ，点Ｑ是平面 内一点，且∠ＰＡＱ＝α，ＡＱＡＰ＝ｋ，当点Ｐ在⊙Ｏ上运动时，点Ｑ的运动轨迹是什么图形？ 思路：（１）定点到定圆上动点的距离比相等；（２）定角等比构造相似． 作法：（１）如图３，连接ＯＡ，取ＯＡ的中点Ｍ，连接ＱＭ，则ＱＭ∥ＰＯ，且ＱＭ＝１２ＰＯ＝ １ ２ｒ，∵点Ａ， 点Ｏ是定点，∴点Ｍ是定点，即为圆心；∵ＱＭＰＯ＝ ＡＭ ＡＯ＝ １ ２，∴ＱＭ为定长，即为半径，∴点Ｑ 的运动轨迹是以Ｍ为圆心，１２ｒ为半径的圆． 图３ 　　　　　　　 图４ （２）如图 ４，连接 ＯＡ，ＯＰ，以 Ｏ为顶点，作∠ＯＡＭ＝α，且ＡＭＡＯ＝ｋ，∵∠ＰＡＱ＝∠ＯＡＭ， ∴∠ＭＡＱ＝∠ＯＡＰ，∵ＡＭＡＯ＝ ＡＱ ＡＰ