技能5 圆中最值与辅助圆-【一战成名新中考】2024四川中考数学·培优册

培优册·四川数学 技 能 方 法 篇 技能５　圆中最值与辅助圆 （一）显性圆中的最值问题 类 型 １　点圆最值 模型解读 已知：⊙Ｏ的半径为ｒ，Ａ是平面内一定点，Ｐ是圆上一动点，确定ＰＡ的最值． 点Ａ位置 在圆内 在圆外 图示 解决方案 “一箭穿心”定交点Ｐ，“近点”有最小值，“远点”有最大值； 原理：  直径是圆内最长的弦 最大值 ｒ＋ＯＡ（即ＡＰ２） ｒ＋ＯＡ（即ＡＰ２） 最小值 ｒ－ＯＡ（即ＡＰ１） ＯＡ－ｒ（即ＡＰ１） 典例精析 例：如图，⊙Ｍ的半径为４，圆心Ｍ的坐标为（６，８），点Ｐ是⊙Ｍ上的任意一点，ＰＡ⊥ＰＢ，且ＰＡ， ＰＢ与ｘ轴分别交于Ａ，Ｂ两点，若点Ａ，点Ｂ关于原点Ｏ对称，则ＡＢ的最大值为　　　　． 【思路剖析】有直角和斜边中点构造斜边中线，斜边中线的最大值即为斜边的最大值．连接 ＯＭ并延长交⊙Ｍ于点Ｐ′，则当点Ｐ与点Ｐ′重合时ＯＰ的值最大，即ＡＢ的值最大． 【答案】２８ 【自主解答】 如解图，连接ＰＯ，∵ＰＡ⊥ＰＢ，∴∠ＡＰＢ＝９０°，∵点 Ａ，点 Ｂ关于原点 Ｏ对称，∴ＡＯ＝ＢＯ，∴ＡＢ＝２ＰＯ， 若要使ＡＢ取得最大值，则ＰＯ需取得最大值．连接 ＯＭ并延长交⊙Ｍ于点 Ｐ′，当点 Ｐ位于 Ｐ′位置时， ＯＰ′取得最大值，即ＰＯ取得最大值，过点Ｍ作 ＭＱ⊥ｘ轴于点 Ｑ，则 ＯＱ＝６，ＭＱ＝８，∴ＯＭ＝１０，又∵ ＭＰ′＝ｒ＝４，∴ＯＰ′＝ＭＯ＋ＭＰ′＝１０＋４＝１４，∴ＡＢ＝２ＯＰ′＝２×１４＝２８． 针对训练 １．【多解法】如图，正方形 ＡＢＣＤ的边长为４，⊙Ｏ的半径为１．若⊙Ｏ在正方形 ＡＢＣＤ内平移 （⊙Ｏ可以与该正方形的边相切），则点Ａ到⊙Ｏ上的点的距离的最大值为　３槡２＋１　． 第１题图 ６３ 培优册·四川数学 技 能 方 法 篇 ２．如图，抛物线ｙ＝１４ｘ ２－４与ｘ轴负半轴交于点Ａ，Ｐ是以点Ｃ（０，３）为圆心，２为半径的圆上的 动点，Ｑ是线段ＰＡ的中点，连接ＯＱ，则线段ＯＱ的最小值是　　　　． 　 第２题图 类 型 ２　线圆最值 模型解读 已知：⊙Ｏ的半径为ｒ，圆心Ｏ到定直线ＡＢ的距离为ｄ，点Ｐ是圆上一动点，确定Ｐ到直线ＡＢ 的最值． 直线ＡＢ与 ⊙Ｏ的位置 相离 相切 相交 图示 解决方案 过点Ｏ作ＡＢ的垂线，交⊙Ｏ于点Ｐ，交直线ＡＢ于点Ｃ 最大值 ｄ＋ｒ ２ｒ ｄ＋ｒ ｒ－ｄ 最小值 ｄ－ｒ ０ ０ 典例精析 例：如图，已知直线ｙ＝３４ｘ－３与ｘ轴，ｙ轴分别交于Ａ，Ｂ两点，Ｐ是以Ｃ（０，１）为圆心，１为半径 的圆上一动点，连接ＰＡ，ＰＢ，则△ＰＡＢ面积的最小值是　　　　． 【思路剖析】底边ＡＢ是定值，故底边上的高ｈ最小时，三角形的面积最小．过点Ｃ作ＡＢ的垂 线ＣＭ，则ｈ的最小值即为ＣＭ－ｒ．ＣＭ的值可由等面积法求得． 【答案】　　 【自主解答】 如解图，过点Ｃ作ＣＭ⊥ＡＢ于点Ｍ，连接ＡＣ，∵直线ｙ＝３４ｘ－３与ｘ轴，ｙ轴分别交于 Ａ，Ｂ两点，∴令ｙ＝０，则ｘ＝４，令ｘ＝０，则ｙ＝－３，∴点Ａ（４，０），点Ｂ（０，－３），∴ＯＡ＝４，ＢＣ＝１－（－３） ＝４，∴ＡＢ＝ ４２＋（－３）槡 ２＝５，则由三角形面积公式得１２ＡＢ·ＣＭ＝ １ ２ＯＡ·ＢＣ，∴５ＣＭ＝１６，∴ＣＭ＝ １６ ５，∴⊙Ｃ上一点到直线 ｙ＝ ３ ４ｘ－３的最小距离是 １６ ５－１＝ １１ ５，∴△ＰＡＢ面积的最小值是 １ ２×５× １１ ５ ＝１１２． ７３ 培优册·四川数学 技 能 方 法 篇 针对训练 １．已知⊙Ｏ的半径为３，直线ｌ与⊙Ｏ相切于点Ａ，点Ｐ是⊙Ｏ上一动点，则点Ｐ到直线ｌ的距离 不可能是 （Ｄ ） Ａ．０ Ｂ．３ Ｃ．６ Ｄ．７ ２．如图，ＡＢ是⊙Ｏ的弦，Ｃ是优弧ＡＢ上一点，连接ＡＣ，ＢＣ，若⊙Ｏ的半径为４，∠ＡＣＢ＝６０°，则 △ＡＢＣ面积的最大值为　１２槡３　． 　 第２题图 类 型 ３　过圆内一点（非圆心）的弦的最值问题 模型解读 已知：半径为ｒ的⊙Ｏ内一定点Ａ，ＭＮ为过点Ａ的弦，确定ＭＮ的最值． 最值 最大值：２ｒ 最小值：２ ｒ２－ＯＡ槡 ２ 图示 原理 直径是圆内最长的弦 垂径定理和勾股定理 典例精析 例：如图，在平面直角坐标系中，Ａ（６，０），Ｂ（０，８），点Ｃ在ｘ轴正半轴上，点Ｄ在ｙ轴正半轴上， 且ＣＤ＝６，以ＣＤ为直径在第一象限作半圆，交线段 ＡＢ于点 Ｅ，Ｆ，则线段 ＥＦ的最大值为 　　　　． 【思路剖析】直径ＣＤ是定值，要使弦最大，则弦心距最小．取ＣＤ的中点Ｇ即为圆心，过点Ｇ 作ＥＦ的垂线构造弦心距ＧＭ，由题意知点Ｇ的轨迹是一条以点Ｏ为圆心，３为半径的弧，故 由“垂线段最短”可知直线ＧＭ经过点Ｏ时，ＧＭ的值最小． 【答案】４．８ 【自主解答】 如解图，过ＣＤ的中点Ｇ作ＥＦ的垂线与 ＥＦ交于点 Ｍ，连接 ＧＦ，∵ＧＭ⊥ＥＦ，∴ＥＦ ＝２ＦＭ＝２ ＧＦ２－ＧＭ槡