技能4 最值计算-【一战成名新中考】2024四川中考数学·培优册

培优册·四川数学 技 能 方 法 篇 技能４　最值计算 ［成都６年５考］ 类 型 １　建立二次函数模型确定最值 小题引入 如图，矩形ＡＢＣＤ的周长为８，则矩形面积的最大值为　　　　． 【答案】４ 【解析】设矩形的边ＡＢ＝ｘ，则由周长为８可得边ＢＣ＝４－ｘ，∴Ｓ矩形 ＝ＡＢ·ＢＣ＝ｘ（４－ｘ）＝ －ｘ２＋４ｘ＝－（ｘ－２）２＋４，∴当ｘ＝２时，Ｓ有最大值４． 典例精析 例：如图，在△ＡＢＣ中，ＢＣ＝６，ＢＣ边上的高为４，在△ＡＢＣ的内部作一个矩形 ＥＦＧＤ，使 ＥＦ在 ＢＣ边上，另外两个顶点分别在ＡＢ，ＡＣ边上，则对角线ＥＧ长的最小值为　　　　． 【思路剖析】ＥＧ是矩形ＥＦＧＤ的对角线，可设一边ＧＦ＝ｘ，用含ｘ的代数式表示出另一边ＥＦ或 ＤＧ，再结合勾股定理用含ｘ的二次代数式（根号下）表示出ＥＧ，ＥＧ的最小值确定，ＥＧ的最小值也 确定．已知ＢＣ边及边上的高，故可构建相似三角形来表示ＥＦ或ＤＧ的值． 【答案】　　 【自主解答】如解图，过点Ａ作ＡＱ⊥ＢＣ于点Ｑ，交ＤＧ于点Ｐ，∵四边形ＤＥＦＧ 是矩形，∴ＡＱ⊥ＤＧ，ＧＦ＝ＰＱ，设 ＧＦ＝ＰＱ＝ｘ，则 ＡＰ＝４－ｘ，由 ＤＧ∥ＢＣ知 △ＡＤＧ∽△ＡＢＣ，∴ＡＰＡＱ＝ ＤＧ ＢＣ，即 ４－ｘ ４ ＝ ＤＧ ６，则 ＥＦ＝ＤＧ＝ ３ ２（４－ｘ），∴ＥＧ＝ ＥＦ２＋ＧＦ槡 ２＝ ９４（４－ｘ） ２＋ｘ 槡 ２＝ １３４ｘ ２－１８ｘ 槡 ＋３６＝ １３４（ｘ－ ３６ １３） ２＋１４４ 槡 １３ ，∴当ｘ＝３６１３时，ＥＧ取得最小 值，最小值为 １２槡１３ １３ ． 针对训练 １．如图，在正方形ＡＢＣＤ中，ＡＢ＝８，Ｐ为对角线ＢＤ上一动点，Ｆ为射线ＡＤ上一点，若ＡＰ＝ＰＦ， 则△ＡＰＦ的面积的最大值为　　　　． 第１题图 　　　　 第２题图 　　　　 第３题图 ２．如图，点Ｅ，Ｆ，Ｇ，Ｈ分别位于边长为３的正方形 ＡＢＣＤ的四条边上，四边形 ＥＦＧＨ也是正方 形，正方形ＥＦＧＨ的面积最小时，ＡＥ的值是　　　　． ３．（２０２３无锡）如图，在四边形ＡＢＣＤ中，ＡＤ∥ＢＣ，∠ＤＡＢ＝３０°，∠ＡＤＣ＝６０°，ＢＣ＝ＣＤ＝２，若线 段ＭＮ在边ＡＤ上运动，且ＭＮ＝１，则ＢＭ２＋２ＢＮ２的最小值是 （Ｂ ） Ａ．１３２ Ｂ． ２９ ３ Ｃ． ３９ ４ Ｄ．１０ ５２ 培优册·四川数学 技 能 方 法 篇 类 型 ２　“两点之间，线段最短”确定最值（含费马点） 小题引入 如图，从甲地到乙地有四条道路，最近的一条是 （　 ） Ａ．① Ｂ．② Ｃ．③ Ｄ．④ 【答案】Ｃ 典例精析 例：（２０２２遵义）如图，在等腰直角三角形ＡＢＣ中，∠ＢＡＣ＝９０°，点Ｍ，Ｎ分别为ＢＣ，ＡＣ上的动 点，且ＡＮ＝ＣＭ，ＡＢ＝槡２．当ＡＭ＋ＢＮ的值最小时，ＣＭ的长为　　　　． 【思路剖析】题中线段ＡＭ和ＢＮ没有公共端点，可由题中ＡＮ＝ＭＣ将线段ＢＮ进行转换．构 造以ＭＣ为直角边的Ｒｔ△ＣＥＭ，由ＡＮ＝ＣＭ，可证得ＢＮ＝ＥＭ，∴当Ａ，Ｍ，Ｅ三点共线时，ＡＭ ＋ＢＮ的值最小． 【答案】２－槡２ 【自主解答】 如解图，过点 Ｃ作 ＣＥ⊥ＣＢ，使得 ＣＥ＝ＡＣ，连接 ＭＥ，过点 Ａ作 ＡＤ⊥ＢＣ于点 Ｄ．∵ＡＢ＝ＡＣ＝ＣＥ， ∠ＢＡＮ＝∠ＥＣＭ＝９０°，ＡＮ＝ＣＭ，∴△ＢＡＮ≌△ＥＣＭ（ＳＡＳ），∴ＢＮ＝ＥＭ，∴ＡＭ＋ＢＮ＝ＡＭ＋ＭＥ，∴当 Ａ，Ｍ，Ｅ三点共线时，ＡＭ＋ＢＮ的值最小．∵ＡＤ∥ＥＣ，∴ＣＭＤＭ＝ ＣＥ ＡＤ＝槡２，∴ＣＭ＝槡２ＤＭ＝槡２（１－ＣＭ），解 得ＣＭ＝２－槡２ 櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 毴 毴毴 毴 ． 拓展归纳 费马点 问题：在△ＡＢＣ内找一点 Ｐ，使得点 Ｐ到三角形三个顶点的距离之和 ＰＡ＋ＰＢ＋ＰＣ 最小． 思路：利用旋转变换，将点 Ｐ与原三角形一边组成的三角形绕原三角形一顶点旋转 ６０°，构造ＰＡ，ＰＢ，ＰＣ共线时最短． 作法：将△ＡＰＣ绕点 Ａ逆时针旋转６０°到△ＡＱＥ位置，连接 ＰＱ，则△ＡＰＱ为等边三角 形，ＰＡ＋ＰＢ＋ＰＣ＝ＰＱ＋ＰＢ＋ＱＥ≥ＢＥ，即当Ｂ，Ｐ，Ｑ，Ｅ四点共线时，ＰＡ＋ＰＢ＋ＰＣ 取得最小值ＢＥ． 图示： ６２ 培优册·四川数学 技 能 方 法 篇 针对训练 １．如图，在△ＡＢＣ中，ＢＣ＝４槡２，直线ｌ经过边ＡＢ的中点Ｄ，与ＢＣ交于点Ｍ，分别过点Ａ，Ｃ作直 线ｌ的垂线，垂足为Ｅ，Ｆ，则ＡＥ＋ＣＦ的最大值为　４槡２　． 第１题图 　　　　 第２题图 ２．如