技能3 线段长计算-【一战成名新中考】2024四川中考数学·培优册

培优册·四川数学 技 能 方 法 篇 技能３　线段长计算 类 型 １　解直角三角形求解 典例精析 例：【多解法】如图，△ＡＢＣ中，∠ＡＣＢ＝９０°，ＣＤ⊥ＡＢ于点Ｄ，ＣＥ平分∠ＤＣＢ，ＡＥ＝３，ＢＣ＝４，则 ＤＥ＝　　　　． 【思路剖析】图中存在两处垂直，故解决本题的主要思路就是利用勾股定理解直角三角形． 根据直角三角形的性质求出∠ＡＣＤ＝∠Ｂ，结合角平分线与三角形外角性质得∠ＡＣＥ＝ ∠ＡＥＣ，求出ＡＣ＝ＡＥ＝３，根据勾股定理求出ＡＢ．方法１：设ＤＥ＝ｘ，在Ｒｔ△ＡＣＤ和Ｒｔ△ＢＣＤ 中以ＣＤ为“桥梁”，用勾股定理列方程求出 ｘ的值；方法 ２：利用等面积法求出 ＣＤ，在 Ｒｔ△ＡＣＤ中根据勾股定理求出ＡＤ，即得ＣＥ． 【答案】　　 【自主解答】 ∵ＣＤ⊥ＡＢ，∴∠ＡＤＣ＝９０°，∵∠ＡＣＢ＝９０°，∴∠Ａ＋∠ＡＣＤ＝∠Ａ＋∠Ｂ＝９０°，∴∠ＡＣＤ＝∠Ｂ，∵ＣＥ 平分∠ＤＣＢ，∴∠ＤＣＥ＝∠ＢＣＥ，∴∠ＡＣＤ＋∠ＤＣＥ＝∠Ｂ＋∠ＢＣＥ，即∠ＡＣＥ＝∠ＡＥＣ，∴ＡＣ＝ＡＥ，∵ ＡＥ＝３，∴ＡＣ＝３，在Ｒｔ△ＡＣＢ中，由勾股定理得：ＡＢ＝ ＡＣ２＋ＢＣ槡 ２＝ ３２＋４槡 ２＝５． 方法１：∵ＡＥ＝３，∴ＢＥ＝２，设ＤＥ＝ｘ，则ＡＤ＝３－ｘ，ＢＤ＝２＋ｘ，在 Ｒｔ△ＡＣＤ中，ＣＤ２＝ＡＣ２－ＡＤ２＝３２ －（３－ｘ）２，在Ｒｔ△ＢＣＤ中，ＣＤ２＝ＢＣ２－ＢＤ２＝４２－（２＋ｘ）２，∴３２－（３－ｘ）２＝４２－（２＋ｘ）２，解得 ｘ＝ ６ ５，即ＤＥ＝ ６ ５． 方法２：∵Ｓ△ＡＢＣ ＝ １ ２ＡＣ·ＢＣ＝ １ ２ＡＢ·ＣＤ，∴ＣＤ＝ １２ ５，在 Ｒｔ△ＡＤＣ中，由勾股定理得：ＡＤ＝ ＡＣ２－ＣＤ槡 ２＝ ３２－（１２５）槡 ２＝９５，∵ＡＥ＝３，∴ＤＥ＝ＡＥ－ＡＤ＝３－ ９ ５＝ ６ ５． 针对训练 １．（２０２２黔东南）如图，在边长为２的等边三角形ＡＢＣ的外侧作正方形ＡＢＥＤ，过点Ｄ作ＤＦ⊥ ＢＣ，垂足为Ｆ，则ＤＦ的长为 （Ｄ ） Ａ．２槡３＋２　　　　　　Ｂ．５－槡 ３ ３　　　　　　Ｃ．３－槡３　　　　　　Ｄ．槡３＋１ 第１题图 　　　　 第２题图 ２．如图，在Ｒｔ△ＡＢＣ中，∠ＡＣＢ＝９０°，Ｄ为ＡＣ中点，Ｅ在ＡＢ上，ＡＥ＝ＡＤ＝槡１０，若∠ＣＥＤ＝４５°， 则ＢＣ的长为　　　　　． １２ 培优册·四川数学 技 能 方 法 篇 ３．【多解法】如图，四边形ＡＢＣＤ中，ＡＢ＝ＡＤ＝１０，ＣＢ＝ＣＤ＝２０，∠Ｂ＝∠Ｄ＝９０°，Ｅ是ＡＤ的中 点，过点Ｅ作ＥＦ∥ＤＣ交ＢＣ于Ｆ，则ＥＦ的长为　　　　． 第３题图 　　　　　 第４题图 ４．（２０２３雅安）如图，四边形 ＡＢＣＤ中，ＡＢ＝ＡＤ，ＢＣ＝ＤＣ，∠Ｃ＝６０°，ＡＥ∥ＣＤ交 ＢＣ于点 Ｅ， ＢＣ＝８，ＡＥ＝６，则ＡＢ的长为　２槡７　． 类 型 ２　构造等腰三角形转换求解 典例精析 例：如图，在△ＡＢＣ中，点Ｅ在边ＡＣ上，ＥＢ＝ＥＡ，∠Ａ＝２∠ＣＢＥ，ＣＤ垂直于 ＢＥ的延长线于点 Ｄ，ＢＤ＝８，ＡＣ＝１１，则边ＢＣ的长为　　　　． 【思路剖析】题中存在二倍角关系，但不在同一三角形中，可过点Ｃ作ＡＢ的平行线，将二倍 角关系放在同一三角形中，再构造等腰三角形解答． 【答案】４槡５ 【自主解答】 ∵ＥＢ＝ＥＡ，∴∠Ａ＝∠ＡＢＥ．如解图，过点Ｃ作ＣＨ∥ＡＢ交ＢＤ的延长线于点Ｈ，则 ∠ＡＣＨ＝∠Ａ＝∠ＡＢＥ＝∠ＥＨＣ＝２∠ＣＢＥ，∴ＥＨ＝ＥＣ，∴ＢＨ＝ＡＣ＝１１．延长 ＤＨ 至点Ｆ，使ＨＦ＝ＣＨ，则∠ＥＨＣ＝２∠Ｆ，∴∠ＣＢＥ＝∠Ｆ，∴ＢＣ＝ＣＦ，∵ＣＤ⊥ＢＦ，∴ＤＦ＝ＢＤ＝８，∴ＤＨ ＝ＢＨ－ＢＤ＝３，ＨＦ＝２ＢＤ－ＢＨ＝５＝ＣＨ，∴在Ｒｔ△ＣＤＨ中，ＣＤ＝ ＣＨ２－ＤＨ槡 ２＝ ５２－３槡 ２＝４，∴在Ｒｔ △ＢＣＤ中，ＢＣ＝ ＢＤ２＋ＣＤ槡 ２＝ ８２＋４槡 ２＝４槡５ 櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 毴 毴毴 毴 ． 拓展归纳 一个三角形中存在二倍角时构造等腰三角形的方法 条件 在△ＡＢＣ中，∠ＡＢＣ＝２∠Ｃ 方法 作∠ＡＢＣ平分线构等腰 延长ＣＢ构等腰 作∠ＤＡＣ＝∠Ｃ构等腰 图示 结论 △ＤＢＣ是等腰三角形，且 ＢＤ＝ＣＤ △ＡＤＣ，△ＡＤＢ都是等腰 三角形 △ＡＢＤ，△ＡＣＤ都是等腰三 角形 注：如果二倍角关系不在同一个三角形中，可转化到同一个三角形中再构造． ２２ 培优册·四川数学 技 能 方 法 篇 针对训练 １．（２０２３泸州泸县五中三模）如图所示，在△ＡＢＣ中