4.4 反比例（学霸课堂笔记）-2023-2024学年数学六年级下册同步培优讲义（北师大版）

4.4 反比例 第一部分 知识清单 · 像这样，速度和时间两个量，速度变化，所用的时间也随着变化，且速度与时间的积（也就是路程）一定，我们就说速度和时间成反比例。 · 因为单价×数量=总钱数（一定），所以买苹果的总钱数一定时，单价与数量成反比例。 · 两种相关联的量，一种量变化，另一重量也随着变化，如果这两种相关联的量中相对应的两个数的积一定，这两种量就叫作成反比例的量，它们的关系叫做反比例关系。 · 如果用字母x和y表示两种相关联的量，用k表示他们的积（一定），反比例关系可以表示为：x×y=k（一定） · 判断两个量是否成反比例，要先看这两个量是不是相关联的量，再运用数量关系式进行判断，看这两个量的积是否一定，最后得出结论。 第二部分 典型例题 例1：下列各项中的两种量，成反比例的是（    ）。 A．圆的周长和直径 B．图书室的藏书数量一定，每天借出和还回书的本数 C．步测一段距离，每步的平均长度和走的步数 答案：C 分析：判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定；如果是比值一定，就成正比例；如果是乘积一定，则成反比例。据此判断即可。 详解：A．圆的周长÷直径＝π，商一定，圆的周长和直径成正比例。 B．借出书的本数不一定会随着还回书的本数变化，每天借出和还回书的本数不成比例。 C．每步的平均长度×走的步数＝步测距离，这一段距离一定也就是这两个量的乘积一定，所以每步的平均长度和走的步数成反比例。 故答案为：C 例2：下列说法中，两个量成反比例关系的有（    ）个。 ①甲数的相当于乙数的，甲数和乙数。   ②比的前项一定，比的后项和比值。 ③圆柱的体积一定，它的底面半径和高。     ④已知x、y是大于零的自然数，若，则x和y的关系。 A．1 B．2 C．3 D．4 答案：B 分析：判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定；如果是比值一定，就成正比例；如果是乘积一定，则成反比例。 ①根据分数乘法的意义，可知甲数×＝乙数×；再根据比例的基本性质：两外项之积等于两内项之积，可知甲数∶乙数＝∶，求比值用比的前项除以后项即可；据此可知甲数和乙数的比值一定，则它们成正比例； ②根据比各部分的关系，可知比的后项×比值＝比的前项（一定），比的后项和比值的乘积一定，则它们成反比例； ③圆柱的体积公式：S＝πr2h，体积一定，底面半径的平方和高的乘积一定，则它们成反比例，但是底面半径和高不成比例； ④根据比和分数的关系，可知x∶2＝3∶y，再根据比例的基本性质，可知xy＝2×3，x和y的乘积一定，则它们成反比例。 详解：①甲数的相当于乙数的，甲数和乙数成正比例； ②比的前项一定，比的后项和比值成反比例； ③圆柱的体积一定，它的底面半径和高不成比例； ④已知x、y是大于零的自然数，若，则x和y成反比例。 两个量成反比例关系的有2个，也就是②④。 故答案为：B 例3：新修一条路，每天修的长度和所需的时间如下表。 每天修的长度/米 250 125 100 50 所需时间/天 2 4 5 10 (1)表中每天修的长度和所需时间是相关联的量，所需时间随着( )的变化而变化。 (2)表中这两种量相对应的两个数的积是500，这个积所表示的意义是( )。 (3)因为每天修的长度和所需时间的乘积是一定的，所以每天修的长度和所需要时间成( )比例。 答案：(1)每天修的长度(2)这条路的总长度(3)反 分析：（1）通过观察表中的数据可知：每天修的长度越短，所需时间就越长，即所需时间随着每天修的长度的变化而变化。 （2）根据每天修的米数×天数＝这条路的总米数，用250×2＝125×4＝100×5＝50×10＝500，也就是这条路长500米，即这个积表示这条路的总长度。 （3）判断两种量成正比例还是成反比例，关键看这两种相关联的量中相对应的两个数是比值一定还是乘积一定。如果比值一定，就成正比例；如果乘积一定，就成反比例；如果比值和乘积都不是定量，就不成比例。据此判断每天修的长度和所需要时间成什么比例。 详解：（1）表中每天修的长度和所需时间是相关联的量，所需时间随着每天修的长度的变化而变化。 （2）表中这两种量相对应的两个数的积是500，这个积所表示的意义是这条路的总长度。 （3）根据反比例的意义可知：因为每天修的长度和所需时间的乘积是一定的，所以每天修的长度和所需要时间成反比例。 例4：比例尺一定，图上距离和实际距离成( )比例；长方形的面积一定，它的长与宽成( )比例。 答案： 正 反 分析：根据正比例和反比例区别：两个变量若比值一定则成正比例，若乘积