4.7 直角三角形的性质与判定-【一战成名新中考】2024安徽中考数学·基础夯实练

基础夯实练·安徽数学 命题点 7　 直角三角形的性质与判定(必考) 􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀧈 􀧈 􀧈􀧈 1. 理解直角三角形的概念,探索并掌握直角三角形的性质定理:直角三角形的两个锐角 互余,直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. 掌握有两个角互余的三角形是直角 三角形; 2. 探索勾股定理及其逆定理,并能运用它们解决一些简单的实际问题. 要点归纳 1. 直角三角形的性质与判定 概念 有一个角是 90°的三角形叫作直角三角形 性质 (1)直角三角形两锐角之和等于①　 90° 　 ,如图,∠A + ∠B = ②　 90°　 ; (2)直角三角形斜边上的中线等于斜边的③　 一半　 ,如图,CD 是斜边上的中线,CD =④　 　 　 　 　 AB; (3)勾股定理:如果直角三角形两直角边长分别为 a,b,斜边长为 c,那么⑤　 a2 + b2 = c2 　 判定 (1)有一个角是 90°的三角形是直角三角形(定义); (2)有两个角⑥　 互余　 的三角形是直角三角形; (3)勾股定理的逆定理:如果三角形的三边 a,b,c 满足 a2 + b2 = c2,那么这个三角形是直角三角形; (4)某边上的中线等于该边的一半的三角形是直角三角形(需证明) 面积计 算公式 S = 12 ab = 1 2 ch,其中 a,b 为两直角边长,c 为斜边长,h 为斜边上 的高 2. 等腰直角三角形的性质与判定 性 质 (1)两条直角边⑦　 相等　 ; (2)两个锐角⑧　 相等　 ,均为⑨　 45　 °; (3)斜边上的高把它分成两个小的等腰直角三角形; (4)一条直角边与斜边长的比为⑩　 1∶ 2　 判 定 (1)有一个角是 90°的等腰三角形是等腰直角三角形; (2)有两个角均为􀃊􀁉􀁓　 45°　 的三角形是等腰直角三角形; (3)一个直角三角形的三条边长的比是􀃊􀁉􀁔　 1∶1∶ 2 　 ,这个三角形是 等腰直角三角形 77 基础夯实练·安徽数学 3. 含 30°角的直角三角形 (1)性质 图形 性质 (1)两个锐角的度数分别为 30°,􀃊􀁉􀁕　 60°　 ; (2)30°角所对的直角边等于斜边的􀃊􀁉􀁖　 一半　 ;(反过来,若在一个 直角三角形中,一个锐角所对的直角边等于斜边的一半,那么这 个锐角的度数为􀃊􀁉􀁗　 30°　 ) (3)斜边中线将其分为一个􀃊􀁉􀁘　 等边　 三角形和一个底角为 30°的 等腰三角形. 如图,CD 为斜边上的中线,△BCD 是􀃊􀁉􀁙　 等边　 ; (4)三条边长的比(从小到大)为􀃊􀁉􀁚　 1∶ 3∶2　 (2)几种特殊的三角形辅助线作法 　 　 　 　 　 　 　 简记:有特殊角 30°,45°,60°,作垂线􀪍􀪍􀪍,构造直角三角形. 4. 勾股定理及其探索过程 (1)赵爽弦图(图 1) ∵ 大正方形的边长为 c,∴ 大正方形的面积为 c2,又∵ S大正方形 = 4 × 1 2 ab + (a - b) 2 = a2 + b2,∴ a2 + b2 = c2 . 　 　 　 　 　 　 　 图 1 图 2 图 3 (2)毕达哥拉斯拼图(图 2) 由左图得 S大正方形 = c2 + 4 × 1 2 ab,由右图得 S大正方形 = a 2 + b2 + 4 × 12 ab,∴ a 2 + b2 = c2 . (3)伽菲尔德总统拼图(图 3) 设梯形的面积为 S,则 S = 12 (a + b) (a + b) = 1 2 a 2 + 12 b 2 + ab,又∵ S = 12 ab + 1 2 ab + 1 2 c 2 = 12 c 2 + ab,∴ a2 + b2 = c2 . (4)勾股定理的拓展应用 ①如图 4、5、6,以 Rt△ABC 的三条边为边向外分别作正方形、等边三角形、半圆,则 S1、 S2、S3之间的数量关系满足􀃊􀁉􀁛　 S1 + S2 = S3 　 ; 图 4 　 　 　 图 5 　 　 　 图 6 　 　 　 图 7 87 基础夯实练·安徽数学 ②如图 7,以 Rt△ABC 的三条边为边向外分别作扇形,且满足∠1 = ∠2 = ∠3,则 S1、S2、 S3之间的数量关系满足􀃊􀁊􀁒　 S1 + S2