4.6 等腰三角形的性质与判定-【一战成名新中考】2024安徽中考数学·基础夯实练

基础夯实练·安徽数学 (7)若点 G 是BC 的中点,则FG 与 AC 的位置关系为　 FG∥AC 　 ,数量关系为　 　 　 　 　 　 　 ; 若 S△ACF =6,则 S△ACG = 　 6　 . 2. 在△ABC 中,∠ABC = 70°,∠ACB = 60°. (1)如图①,BP 平分∠ABC,CP 平分∠ACB,则∠BPC = 　 115°　 ; (2)如图②,点 D 是 BC 延长线上一点,BP,CP 分别平分∠ABC 和∠ACD,则∠P = 　 25°　 ; (3)如图③,点 D,E 分别在 AC,AB 的延长线上,BP,CP 分别平分∠EBC,∠BCD,则∠P 的度 数为　 65°　 . 图① 　 　 　 图② 　 　 　 图③ 第 2 题图 命题点 6　 等腰三角形的性质与判定(必考) 􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀧈 􀧈 􀧈􀧈 1. 理解等腰三角形的概念,探索并证明等腰三角形的性质定理: 等腰三角形的两个底角 相等;底边上的高线、中线及顶角平分线重合; 2. 探索并掌握等腰三角形的判定定理:有两个角相等的三角形是等腰三角形. 探索等边 三角形的性质定理:等边三角形的各角都等于 60°. 探索等边三角形的判定定理:三个 角都相等的三角形(或有一个角是 60°的等腰三角形)是等边三角形. 要点归纳 1. 等腰和等边三角形的性质与判定 等腰三角形 等边三角形 图形 性 质 边、角 高线、 中线、 角平 分线 轴对 称性 两腰①　 相等　 ;两底角②　 相等　 三条边均③　 相等 　 ;三个内角均 为 60° 顶角的平分线、底边上的中线、底边 上的高④　 重合　 (三线合一) 每条边上的高线、中线、角平分线均 ⑤　 重合　 (三线合一) 两腰上的中线、高线、角平分线分别 对应相等 三条高线、三条中线、三条角平分线均 相等 是轴对称图形,对称轴为顶角的平分 线所在的直线 是轴对称图形,有 3 条对称轴 47 基础夯实练·安徽数学 判定 (1)有两条边⑥　 相等　 的三角形是 等腰三角形(定义); (2)有两个角相等的三角形是等腰三 角形(等角对等边) (1)三条边都相等的三角形是等边三 角形(定义); (2)三个角都相等的三角形是等边三 角形; (3)有一个角是⑦ 　 60° 　 的等腰三 角形是等边三角形 面积 S = 12 ah S = 1 2 ah = 3 4 a 2 2. 等腰三角形的分类讨论 (1)遇角需讨论(顶角和底角) 已知等腰三角形的一个角为 α,求顶角或底角的度数时,分三种情况: ①若 α 为钝角􀪍􀪍,则 α 为顶角,底角的度数为⑧　 　 　 　 　 ; ②若 α 为直角􀪍􀪍,则 α 为顶角,且该三角形为等腰直角三角形,底角的度数为⑨　 45°　 ; ③若 α 为锐角􀪍􀪍,则应分两种情况讨论:第一种,当 α 为顶角时,底角的度数为 ⑩　 　 　 　 　 　 　 　 ;第二种,当 α 为底角时,顶角的度数为􀃊􀁉􀁓　 180° -2α　 . (2)遇边需讨论 (腰和底) 已知等腰三角形的两边长分别为 a,b(a≠b),求周长 C 时,分两种情况: ①若腰长为 a,则有 2a > b,此时周长为􀃊􀁉􀁔　 2a + b　 , 2a≤b,此时不能构成三角形,{ ②若腰长为 b,则有 2b > a,此时周长为􀃊􀁉􀁕　 2b + a　 , 2b≤a,此时不能构成三角形.{ 注:分类讨论要注意三角形的三边必须满足“任意两边之和大于第三边”,三个角必须满 足 “三角形的内角和等于 180°” . 3. 构成等腰三角形的常见图形 图 3 (1)垂直平分线 如图 3,l 为线段 AB 的垂直平分线,则△ABP 为等腰三角形; (2)角平分线 +平行 【基础模型】 ①如图 4,OC 平分∠AOB,CD∥OB,则􀃊􀁉􀁖　 △ODC　 为等腰三角形; ②如图 5,AD 平分∠BAC,CE∥AD,则􀃊􀁉􀁗　 △ACE　 为等腰三角形; 图 4 　 　 图 5 　 　 图 6 　 　 　 　 　 图 7 57 基础夯实练·安徽数学 【教材对接】 ③如图 6,在△ABC 中,EF∥BC,BD 平分∠ABC,CD 平分∠ACB,则△BE