专题08 解题技巧专题：特殊的因式分解法压轴题四种模型全攻略-【常考压轴题】2023-2024学年七年级数学下册压轴题攻略(湘教版）

专题08 解题技巧专题：特殊的因式分解法压轴题四种模型全攻略 【考点导航】 目录 【典型例题】 1 【考点一 利用整体法提公因式因式分解】 1 【考点二 十字相乘法因式分解】 5 【考点三 分组分解法因式分解】 9 【考点四 因式分解的应用】 13 【典型例题】 【考点一 利用整体法提公因式因式分解】 例题：（2024下·全国·七年级假期作业）把多项式因式分解的结果是 . 【变式训练】 1．（2023·湖北黄石·统考中考真题）因式分解： ． 2．（2024上·河南安阳·八年级校考期末）因式分解： (1)； (2)． 3．（2023上·山东济南·八年级统考期中）因式分解： (1) (2) 4．（2023上·山东济宁·八年级统考期末）【阅读材料】 因式分解：． 解：将“”看成整体，令，则原式．再将“”还原，原式．上述解题用到的是“整体思想”，整体思想是数学解题中常用的一种思想方法． 【问题解决】 (1)因式分解：； (2)因式分解：； (3)证明：若为正整数，则代数式的值一定是某个整数的平方． 5．（2024上·湖北省直辖县级单位·八年级统考期末）阅读以下材料 材料：因式分解： 解：将“”看成整体，令，则原式 再将“”还原，得原式 上述解题用到的是“整体思想”，“整体思想”是数学解题中常用的一种思想方法，请你解答下列问题： (1)因式分解： ________； (2)因式分解：； (3)求证：无论n为何值，式子的值一定是一个不小于1的数． 【考点二 十字相乘法因式分解】 例题：（2024上·广东珠海·八年级统考期末）在数学学习中，是常见的一类多项式，对这类多项式常采用十字相乘法和配方法来进行因式分解．请阅读材料，按要求回答问题． 材料一：分解因式： 解： 材料二：分解因式： 解：原式 (1)按照材料一提供的方法分解因式：； (2)按照材料二提供的方法分解因式：． 【变式训练】 1．（2024上·北京东城·八年级统考期末）利用整式的乘法运算法则推导得出：．我们知道因式分解是与整式乘法方向相反的变形，利用这种关系可得．通过观察可把看作以x为未知数，a、b、c、d为常数的二次三项式，此种因式分解是把二次三项式的二项式系数与常数项分别进行适当的分解来凑一次项的系数，分解过程可形象地表述为“竖乘得首、尾，叉乘凑中项”，如图1，这种分解的方法称为十字相乘法．例如，将二次三项式的二项式系数2与常数项12分别进行适当的分解，如图2，则． 根据阅读材料解决下列问题： (1)用十字相乘法分解因式：； (2)用十字相乘法分解因式：； (3)结合本题知识，分解因式：． 2．（2024上·山西朔州·八年级统考期末）阅读下列材料，完成相应任务 我们在学习整式乘法时，常常通过数形结合理解掌握运算方法．例如图（1）反映了单项式与多项式的乘法运算方法，即：． 任务一：观察图（2）完成填空：． 将上式逆向变形即可把等式左边的多项式因式分解为右边的，像这样我们可将某些二次项系数是1的二次三项式分解因式．例如，将式子分解因式．这个式子的二次项系数是1，常数项，一次项系数，因此可利用上述方法直接可得．上述分解因式的过程，也可以用十字相乘的形式形象地表示：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角；再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角；然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数，如图（3）这样我们便可直接得到 任务二：利用上述方法分解因式 （1） （2） 我们常用的因式分解的方法有：提公因式法和公式法，但有的多项式用上述方法无法分解，例如，我们细心观察就会发现，前两项可以分解，后两项也可以分解，分别分解后会产生公因式就可以完整的分解了，具体分解过程如下： 这种方法叫分组分解法． 任务三：请利用这种方法因式分解下列多项式：； 【考点三 分组分解法因式分解】 例题：（2023上·全国·八年级专题练习）阅读下列文字与例题： 将一个多项式分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法称作分组分解． 例如：以下两个式子的分解因式的方法就称为分组分解法． ①； ② 试用上述方法分解因式： (1)； (2)． 【变式训练】 1．（2024上·湖北襄阳·八年级统考期末）常用的因式分解的方法有：提公因式法和公式法，但有的多项式用上述方法无法分解，例如 ，我们细心观察就会发现，前两项可以分解，后两项也可以分解，分别分解后会产生公因式就可以完整的分解了，具体分解过程如下：   这种方法叫分组分解法，请利用这种方法因式分解下列多项式： (1) ； (2) ． 2．（2023下·全国·七年级假期作业）观察下列因式分解的过程： ① （分成两组） （直接提取公因式） ； ② （分成两组） （直接运用公式） ． 请仿照上述因式分解的方法，把下列各式因式