6.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示（同步课件）-2023-2024学年高一数学同步精品课堂（人教A版2019必修第二册）

6.3.2平面向量的 正交分解及坐标表示 复习导入 平面向量基本定理：如果是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且仅有一对实数，使. 若不共线，我们把叫做表示这一平面内所有向量的一个基底. ①基底不唯一 ②基底是两个不共线的向量 ③零向量不能作为基底 新知探究 思考：物理上是怎样对力进行分解的？ 重力可以分解为两个分力： 平行于斜面使木块沿斜面下滑的力F1，垂直于斜面的压力F2 正交分解：把一个向量分解为两个互相垂直的向量． 作用：在平面中，如果取相互垂直的向量作为基底，将为我们研究问题带来极大的方便。 新知探究 问题1：在平面直角坐标系中，每一个点都可用一对有序实数（即它的坐标）表示。那么，如何表示直角坐标平面内的一个向量呢？ x y O i j a 设与轴、轴方向相同的两个单位向量分别为 , 对平面内任意一个向量 ,有且只有一对实数x, y,使得 . 给定向量 可由实数x, y唯一确定， 把有序数对(x, y)叫做 的坐标，记作 =(x, y). 其中，x叫做 在x轴上的坐标，y叫做 在y轴上的坐标. 新知探究 x y O i j a 基底：（为x轴、y轴方向相同的两个单位向量） 平面向量的坐标表示：平面内的任一向量都可由唯一确定，我们把有序数对叫做向量的坐标，记作 ． ① 其中，叫做在轴上的坐标，叫做在轴上的坐标，①叫做向量的坐标表示． 新知探究 思考1：在平面直角坐标系中，的坐标是什么含义？ x y O i j a 以、轴方向上的单位向量为基底，分解后的系数所对应的实数对 思考2：你能写出向量的坐标表示吗？ 思考3：实数对“”表示什么意思？ 点? 区间? 向量? 如果不作说明 则指向不明 新知探究 问题2：以为起点作向量，则的坐标与点的坐标有何联系？ x y O i j a x y A A(x,y) ； ; 如果向量的起点在原点，则终点的坐标就是向量的坐标 （向量起点终点坐标不一定相同） 思考：向量坐标与向量的起点、终点坐标有什么关系呢？ 练习巩固 问题3：若，则的坐标能否用点、点坐标表示？ 结论：一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段终点的坐标减去始点的坐标． ； 从而 ; 练习巩固 辨析1：判断正误. 当向量的始点在坐标原点时，向量的坐标就是向量的终点坐标. （ ） 点的坐标与向量的坐标相同. （ ） 平面内的一个向量其坐标是唯一的. （ ） 【答案】：√，×，√. 辨析2：已知，则点位于（ ）. .第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.不确定 【答案】：. 练习巩固 例3：如图，分别用基底表示向量，并求出它们的坐标. 解：由图可知，，所以. 同理，， ， 练习巩固 练习1：写出下列向量的坐标是与轴，轴方向相同的两个单位向量。 （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； 【答案】：（1）； （2）； （3）； （4）；（5）； 变式1-1：已知分别是与轴、轴正方向相同的单位向量， 求向量的坐标. 【答案】： 练习巩固 变式1-2：已知边长为2的正三角形，顶点为坐标原点，边在轴上，点在第一象限，为的中点. ①求的坐标； ②求向量，，，的坐标. 解：如图，正三角形的边长为2， 则顶点. ①. ②，， ， 小结 x y O i j a 平面向量的 正交分解及坐标表示 正交分解 坐标表示 把一个向量分解为两个互相垂直的向量． 一个向量的坐标等于终点的坐标减去始点的坐标． 如果向量的起点在原点，则终点的坐标就是向量的坐标 $$