6.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示+6.3.3 平面向量加、减运算的坐标表示-2023-2024学年高一数学教材配套教学精品课件（人教A版2019必修第二册)

6.3.2+6.3.3 平面向量的正交分解、坐标表示及运算 高一下学期 1 1、了解平面向量的正交分解； 2、理解向量坐标的概念，掌握向量的坐标表示； 3、正确区分向量的坐标与平面内点的坐标的区别与联系； 4、掌握两个向量和与差的坐标运算公式. 重点：向量的坐标表示、两个向量和与差的坐标运算公式 难点：正确区分向量的坐标与平面内点的坐标的区别与联系 学习目标 6.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示 高一下学期 3 给定平面内两个不共线的向量，由平面向量基本定理可知，平面上的任意向量，均可分解为两个向量，即，其中向量与共线，向量与共线. 不共线的两个向量互相垂直是一种很重要的情形. 在平面上，选取互相垂直的向量作为基底时，将为我们研究问题带来方便. 把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量作正交分解. 重力可以分解为这样两个力： 平行于斜面使木块沿斜面下滑的力，垂直于斜面的压力. 新知探究 在平面直角坐标系中，设与轴、轴方向相同的两个单位向量分别为，， 取作为基底,对于平面内的任意一个向量，由平面向量基本定理可知， 有且只有一对实数，，使得. 思考：我们知道，在平面直角坐标系中，每一个点都可用一对有序实数(即它的坐标)表示.那么，如何表示直角坐标平面内的一个向量呢？ 这样，平面内的任一向量都可由，唯一确定， 我们把有序数对叫做向量的坐标，记作 其中，叫做在轴上的坐标，叫做在轴上的坐标， 叫做向量的坐标表示. 新知探究 思考：与的坐标是多少？的坐标是多少？ ， ， . 思考：在平面直角坐标系中，以原点为起点作，设， 向量的坐标为____________. 点的坐标为____________. 因为，所以终点的坐标()就是向量的坐标.这样就建立了向量的坐标与点的坐标之间的联系. 起点为坐标原点 新知探究 例题：如图，分别用基底表示向量，并求出它们的坐标. 解：由图知，，所以. 同理，， ， 典例精析 练习：求，，，的坐标. 解：； ； ； ； 相等向量的坐标相同，与具体位置无关. 习题演练 辨析1：判断正误. (1)存在唯一一对实数，使得. （ ） (2)若，，且，则的起点为原点O. （ ） (3)平面内的一个向量其坐标是唯一的. （ ） (4)若，，且的终点坐标是，则. （ ） (5)正交分解只能沿水平和垂直这两个方向分解 （ ） √ × √ × × 典例精析 6.3.3 平面向量加、减运算的坐标表示 高一下学期 10 思考：已知，你能得出的坐标吗？ 即： 同理可得： 这就是说，两个向量和(差)的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和(差). 新知探究 例题：已知求的坐标. 解： 思考：如图，已知，，你能得出的坐标吗？ 解：如图，作向量，， 则 一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标. 小试：已知则的坐标是_______. 典例精析 解法1：如图，设顶点的坐标为 因为 又所以 即，解得，所以顶点的坐标为 例题：如图，已知□的三个顶点的坐标分别是 ，，，求顶点的坐标. 典例精析 例题：如图，已知平行四边形的三个顶点的坐标分别是 ，，，求顶点的坐标. 解法2：如图，由向量加法的平行四边形法则可知 而 所以顶点的坐标为 思考：你能比较一下两种解法在思想方法上的异同点吗？ 典例精析 练习：已知平行四边形的四个顶点的坐标依次为 .求的最大值. 习题演练 求平面向量坐标的方法 (1)若是分别与轴、轴同方向的单位向量，则当时，向量的坐标即为(). (2)向量的坐标等于其终点的相应坐标减去始点的相应坐标，只有当向量的始点在坐标原点时，向量的坐标才等于终点的坐标. (3)求向量的坐标一般转化为求点的坐标.解题时，常常结合几何图形，利用三角函数的定义和性质进行计算. 归纳总结 1.正交分解:把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量作正交分解. 2.平面向量的坐标表示 (1)基底：在平面直角坐标系中，设与轴、轴方向相同的两个单位向量分别为，取作为基底. (2)坐标：对于平面内的任意一个向量，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数，，使得，我们把有序数对叫