4.6 等腰三角形的性质与判定-【一战成名新中考】2024云南中考数学·基础夯实练

基础夯实练·云南数学 命题点６　等腰三角形的性质与判定（必考 櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 毴 毴毴 毴 ） １．理解等腰三角形的概念，探索并证明等腰三角形的性质定理：等腰三角形的两个底角相等；底边上 的高线、中线及顶角平分线重合； ２．探索并掌握等腰三角形的判定定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形．探索等边三角形的性质 定理：等边三角形的各角都等于６０°．探索等边三角形的判定定理：三个角都相等的三角形（或有一 个角是６０°的等腰三角形）是等边三角形． 要点归纳 １．等腰和等边三角形的性质与判定 等腰三角形 等边三角形 图形 性质 边、角 高线、 中线、 角平 分线 轴对 称性 两腰①　相等　；两底角②　相等　 三条边均③　相等　；三个内角均 为６０° 顶角的平分线、底边上的中线、底边 上的高④　重合　（三线合一） 每条边上的高线、中线、角平分线均 ⑤　重合　（三线合一） 两腰上的中线、高线、角平分线分别 对应相等 三条高线、三条中线、三条角平分线均 相等 是轴对称图形，对称轴为顶角的平分 线所在的直线 是轴对称图形，有３条对称轴 判定 （１）有两条边⑥　相等　的三角形是 等腰三角形（定义）； （２）有两个角相等的三角形是等腰三 角形（等角对等边） （１）三条边都相等的三角形是等边三 角形（定义）； （２）三个角都相等的三角形是等边三 角形； （３）有一个角是⑦　６０°　的等腰三 角形是等边三角形 面积 Ｓ＝１２ａｈ Ｓ＝ １ ２ａｈ＝ 槡３ ４ａ ２ ２．等腰三角形的分类讨论 （１）遇角需讨论（顶角和底角） 已知等腰三角形的一个角为α，求顶角或底角的度数时，分三种情况： ①若α 为钝角，则α为顶角，底角的度数为⑧　　　　　　； ５７ 基础夯实练·云南数学 ②若α 为直角，则α为顶角，且该三角形为等腰直角三角形，底角的度数为⑨　４５°　； ③若 α 为锐角，则应分两种情况讨论：第一种，当 α为顶角时，底角的度数为 ⑩　　　　　　　；第二种，当α为底角时，顶角的度数为瑏瑡　（１８０°－２α）　． （２）遇边需讨论 （腰和底） 已知等腰三角形的两边长分别为ａ，ｂ（ａ≠ｂ），求周长Ｃ时，分两种情况： ①若腰长为ａ，则有 ２ａ＞ｂ，此时周长为瑏瑢　２ａ＋ｂ　， ２ａ≤ｂ，此时不能构成三角形{ ， ②若腰长为ｂ，则有 ２ｂ＞ａ，此时周长为瑏瑣　２ｂ＋ａ　， ２ｂ≤ａ，此时不能构成三角形{ ． 注：分类讨论要注意三角形的三边必须满足“任意两边之和大于第三边”，三个角必须满 足 “三角形的内角和等于１８０°”． ３．构成等腰三角形的常见图形 （１）垂直平分线 如图１，ｌ为线段ＡＢ的垂直平分线，则△ＡＢＰ为等腰三角形； 图１ （２）角平分线＋平行 【基础模型】 ①如图２，ＯＣ平分∠ＡＯＢ，ＣＤ∥ＯＢ，则瑏瑤　△ＯＤＣ　为等腰三角形； ②如图３，ＡＤ平分∠ＢＡＣ，ＣＥ∥ＡＤ，则瑏瑥　△ＡＣＥ　为等腰三角形； 图２ 　　 图３ 　　 图４ 　　　　　 图５ 【教材对接】 ③如图４，在△ＡＢＣ中，ＥＦ∥ＢＣ，ＢＤ平分∠ＡＢＣ，ＣＤ平分∠ＡＣＢ，则△ＢＥＤ和△ＣＦＤ均  为等腰三角形，且△ＡＥＦ的周长＝ＡＥ＋ＡＦ＋ＥＦ＝ＡＢ＋ＡＣ；（人教八上Ｐ８３第１０题） ④如图５，在△ＡＢＣ中，ＤＥ∥ＡＢ，ＤＦ∥ＡＣ，ＢＤ平分∠ＡＢＣ，ＣＤ平分∠ＡＣＢ，则△ＢＥＤ和 △ＣＦＤ均为等腰三角形，且△ＤＥＦ的周长＝ＤＥ＋ＤＦ＋ＥＦ＝ＢＣ． ６７ 基础夯实练·云南数学 随堂练习 １．如图①，在△ＡＢＣ中，点Ｄ是ＢＣ上一点，连接ＡＤ． （１）若ＡＢ＝ＡＤ＝ＤＣ，∠Ｂ＝４８°，则∠ＤＡＣ＝　２４　°； （２）若△ＡＢＤ是等边三角形，ＣＤ＝ＡＤ，则∠Ｃ＝　３０　°； （３）若ＡＢ＝４，ＢＣ＝７，ＣＤ＝３，∠Ｂ＝６０°，则ＡＤ＝　４　； （４） 若ＢＣ＝ＡＣ，∠Ｃ＝３６°，ＡＤ平分∠ＢＡＣ，则图中等腰三角形的个数是　３　； （５）若ＡＢ＝ＡＤ，点Ｅ是ＢＤ的中点，点Ｆ是ＡＣ的中点，连接ＥＦ，当ＡＣ＝１０，则ＥＦ＝　５　； （６）如图②，若△ＡＢＣ是等边三角形，ＡＤ是ＢＣ边上的高，且ＤＥ⊥ＡＣ，则 Ｓ△ＡＢＣ Ｓ△ＤＥＣ 的值为　８　． 图① 　 图② 　　　　　　第１题图 　 图① 　 图② 　 图③ 　　　　　　　　　第２题图 ２．如图①，在△ＡＢＣ中，ＢＯ，ＣＯ分别为∠ＡＢＣ，∠ＡＣＢ的平分线，经过点Ｏ的直线ＤＥ∥ＢＣ，交 ＡＢ于点Ｄ，交ＡＣ于点Ｅ． （１）若△ＡＢＣ是