5.5 正方形的性质与判定&5.6 特殊四边形之间的关系与中点四边形-【一战成名新中考】2024云南中考数学·分层作业本

分层作业本·云南数学 第 五 章 四 边 形 命题点５　正方形的性质与判定（８年５考） 　　　　　　　　　　　　　　　　基础达标练 考向１　正方形的性质 １．（北师九上 Ｐ２３第２题改编）如图，在正方形 ＡＢＣＤ中，Ｏ是ＢＤ的中点，过点 Ｏ作 ＯＥ⊥ＣＤ 于点Ｅ，则∠ＢＯＥ的度数为 （　Ｂ　） Ａ．１２０° Ｂ．１３５° Ｃ．１４５° Ｄ．１５０° 第１题图 　　　 变式题图 【变式】（２０２３昭通巧家县一模）如图，在边长为４ 的正方形 ＡＢＣＤ中，对角线 ＡＣ，ＢＤ相交于点 Ｅ，Ｆ为线段ＢＣ的中点，连接ＥＦ，则线段ＥＦ的 长为 （　Ｄ　） Ａ．１４ 　Ｂ． １ ２ Ｃ．１ Ｄ．２ ２．如图，Ｏ为正方形 ＡＢＣＤ对角线 ＡＣ的中点， △ＡＣＥ为等边三角形．若 ＡＢ＝２，则 ＯＥ的长 度为 （　Ｂ　） Ａ．槡６２ Ｂ．槡６ Ｃ．２槡２ Ｄ．２槡３ 第２题图 　　 第３题图 ３．如图，正方形 ＡＢＣＤ的边长为１，点 Ｅ，Ｆ分别 是对角线 ＡＣ上的两点，ＥＧ⊥ＡＢ，ＥＩ⊥ＡＤ， ＦＨ⊥ＡＢ，ＦＪ⊥ＡＤ，垂足分别为点 Ｇ，Ｉ，Ｈ，Ｊ，则 图中阴影部分的面积等于 （　Ｂ　） Ａ．１ Ｂ．１２ Ｃ． １ ３ Ｄ． １ ４ ４．（２０２３文山州九上期末）如图，四边形 ＡＢＣＤ 是正方形，延长 ＡＢ到点 Ｅ，使 ＡＥ＝ＡＣ，则 ∠ＢＣＥ的度数是 （　Ｄ　） Ａ．６２．５°Ｂ．４５° Ｃ．３２．５° Ｄ．２２．５° 第４题图 　　 第５题图 ５．（２０２３曲靖一模）如图，已知大正方形 ＡＢＣＤ 的面积是２５，小正方形 ＥＦＧＨ的面积是１，那 么ｓｉｎ∠ＡＤＦ＝　　　　． ６．如图所示，Ｅ是正方形ＡＢＣＤ的对角线 ＢＤ上 一点，ＥＦ⊥ＢＣ于点Ｆ，若ＣＦ＝３，ＥＦ＝４，则ＡＥ 的长是 （　Ｃ　） Ａ．３ Ｂ．４ Ｃ．５ Ｄ．７ 第６题图 　　 第７题图 ７．如图，Ｐ为 ＡＢ上任意一点，分别以 ＡＰ、ＰＢ为 边在ＡＢ同侧作正方形 ＡＰＣＤ、正方形 ＰＢＥＦ， 设∠ＣＢＥ＝２５°，则∠ＡＦＰ的度数为 （　Ｄ　） Ａ．５０° Ｂ．７７．５° Ｃ．７０° Ｄ．６５° ８．如图，已知Ｐ是正方形ＡＢＣＤ对角线ＢＤ上一 点，ＰＥ⊥ＤＣ，ＰＦ⊥ＢＣ，垂足分别为Ｅ，Ｆ，连接ＥＦ． （１）求证：ＡＰ＝ＥＦ； 第８题图 证明：如解图，连接ＰＣ， ∵ＰＦ⊥ＢＣ，ＰＥ⊥ＤＣ，四边形ＡＢＣＤ是正方形， ∴四边形ＰＦＣＥ为矩形，∴ＰＣ＝ＥＦ， ∵四边形ＡＢＣＤ为正方形， ∴ＡＤ＝ＣＤ，∠ＡＤＰ＝∠ＣＤＰ， 又∵ＤＰ＝ＤＰ，∴△ＡＤＰ≌△ＣＤＰ（ＳＡＳ）， ∴ＡＰ＝ＣＰ，∴ＡＰ＝ＥＦ                                                                     ； １９ 分层作业本·云南数学 第 五 章 四 边 形 （２）若∠ＤＡＰ＝３０°，ＰＤ＝２，求ＥＦ的长． 解：如解图，∵ＢＤ为正方形ＡＢＣＤ的对角线， ∴∠ＡＤＰ＝∠ＰＤＥ＝４５°， ∵ＰＥ⊥ＤＣ，∴∠ＰＥＤ＝∠ＰＥＣ＝９０°， ∴∠ＤＰＥ＝∠ＰＤＥ＝４５°，∴ＰＥ＝ＤＥ， ∵ＰＤ＝２且ＰＥ２＋ＤＥ２＝ＰＤ２，∴ＰＥ＝槡２（负值舍去）， ∵△ＡＤＰ≌△ＣＤＰ，∴∠ＤＡＰ＝∠ＤＣＰ＝３０°， ∴ＥＦ＝ＣＰ＝２ＰＥ＝２槡２． 考向２　正方形的判定 ９．有下列四个条件：①∠ＡＢＣ＝９０°；②ＡＣ⊥ＢＤ； ③ＡＢ＝ＢＣ；④ＡＣ＝ＢＤ；从中选两个作为补充 条件，使平行四边形 ＡＢＣＤ为正方形，现有下 列四种选法，你认为错误的是 （　Ｃ　） Ａ．①② Ｂ．①③ Ｃ．②③ Ｄ．②④ １０．如图，已知四边形ＡＢＣＤ的对角线ＡＣ、ＢＤ相 交于点 Ｏ，则下列能判断它是正方形的条件 是 （　Ｂ　） 第１０题图 Ａ．ＡＢ＝ＢＣ＝ＣＤ＝ＤＡ Ｂ．ＡＯ＝ＢＯ＝ＣＯ＝ＤＯ，ＡＣ⊥ＢＤ Ｃ．ＡＯ＝ＣＯ，ＢＯ＝ＤＯ，ＡＣ⊥ＢＤ Ｄ．ＡＢ＝ＢＣ，ＣＤ⊥ＤＡ １１．（２０２３怀化）如图，点Ｐ是正方形ＡＢＣＤ的对 角线ＡＣ上的一点，ＰＥ⊥ＡＤ于点 Ｅ，ＰＥ＝３． 则点Ｐ到直线ＡＢ的距离为　３　． 第１１题图 １２．（２０２２邵阳）如图，在菱形 ＡＢＣＤ中，对角线 ＡＣ，ＢＤ相交于点Ｏ，点Ｅ，Ｆ在对角线ＢＤ上， 且ＢＥ＝ＤＦ，ＯＥ＝ＯＡ． 求证：四边形ＡＥＣＦ是正方形． 第１２题图 证明：∵四边形 ＡＢＣＤ是菱 形，∴ＡＣ⊥ＢＤ，ＯＡ＝ＯＣ， ＯＢ＝ＯＤ， ∵ＢＥ＝ＤＦ，∴ＯＥ＝ＯＦ， ∴四边形ＡＥＣＦ是菱形． ∵ＯＥ＝ＯＡ，∴ＯＥ＝ＯＦ＝ＯＡ＝ＯＣ，∴ＥＦ＝ＡＣ， ∴菱形ＡＥＣＦ是正方形． 强化提升练 １３．七巧板起源于我国先秦时期，１９世纪传到国 外，被称为“唐图”