4.10 解直角三角形及其实际应用-【一战成名新中考】2024江西中考数学·基础夯实练

基础夯实练·江西数学 命题点１０　解直角三角形及其实际应用（必考 櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 毴 毴毴 毴 ） １．利用相似的直角三角形，探索并认识锐角三角函数（ｓｉｎＡ，ｃｏｓＡ，ｔａｎＡ），知道３０°，４５°，６０° 角的三角函数值； ２．会使用计算器由已知锐角求它的三角函数值，由已知三角函数值求它的对应锐角； ３．在平面上，运用方位角和距离刻画两个物体的相对位置； ４．能用锐角三角函数解直角三角形，能用相关知识解决一些简单的实际问题； ５．了解近似数，在解决实际问题中，能用计算器进行近似计算，并会按问题的要求进行简单 的近似计算． 要点归纳 １．锐角三角函数 如图，在Ｒｔ△ＡＢＣ中，∠Ｃ＝９０°，∠Ａ为Ｒｔ△ＡＢＣ的一个锐角，则有： ∠Ａ的正弦：ｓｉｎＡ＝∠Ａ的对边 斜边 ＝①　　　　； ∠Ａ的余弦：ｃｏｓＡ＝∠Ａ的邻边 斜边 ＝②　　　　； ∠Ａ的正切：ｔａｎＡ＝∠Ａ的对边∠Ａ的邻边 ＝③　　　　． ２．特殊角的三角函数值 　　　　α 　三角函数　　　　　 ３０° ４５° ６０° ｓｉｎα １２ ④　　　　 ⑤　　　　 ｃｏｓα ⑥　　　　 槡２ ２ ⑦　　　　 ｔａｎα 槡３ ３ ⑧　　　　 槡３ 　 ３．解直角三角形（如图） （１）三角关系：∠Ａ＋∠Ｂ＝∠Ｃ＝⑨　９０°　； （２）三边关系：ａ２＋ｂ２＝ｃ２； （３）边角关系：ｓｉｎＡ＝ａｃ＝ｃｏｓＢ；ｃｏｓＡ＝ ｂ ｃ＝⑩　ｓｉｎＢ　；ｔａｎＡ＝瑏瑡　　　　＝ １ ｔａｎＢ； （４）在Ｒｔ△ＡＢＣ中，五个量∠Ａ，∠Ｂ，ａ，ｂ，ｃ，知道两个（其中含一边），即可根据三边关系、三 角关系或边角关系公式求出其他三个量． ８８ 基础夯实练·江西数学 ４．用锐角三角函数解实际应用题的三种常见背景 背景 俯角、仰角 坡度（坡比） 方向角 图形 ｉ＝ｔａｎα＝ｈｌ 点Ａ在点Ｏ的瑏瑢　北偏东３０°　方向 点Ｂ在点Ｏ的瑏瑣　南偏东６０°　方向 点Ｃ在点Ｏ的瑏瑤　西北（北偏西４５°）　 方向 ５．锐角三角函数实际应用的常考模型 共高型 　　　 　　　 共直角型 　　　 　　　 双垂直型 　　　 　　　 构造型 　　　 　　　 ９８ 命题点２　相交线与平行线 要点归纳　①∠３　②∠８　③∠８　④∠５　⑤∠８　⑥∠７ ⑦∠８　⑧９０　⑨无数　⑩有且只有一条　瑏瑡垂线段 瑏瑢＞　瑏瑣＞　瑏瑤垂线段　瑏瑥ＡＯ　瑏瑦中点　瑏瑧垂直于 瑏瑨相等　瑏瑩＝　瑐瑠＝　瑐瑡相等　瑐瑢有且只有一条　瑐瑣平行 瑐瑤相等　瑐瑥相等　瑐瑦互补　瑐瑧处处相等　 随堂练习 １．（１）１５０°；（２）１１６°；变式　ＰＢ ２．（１）所求的反射光线ＣＤ如解图； 第２题解图 （２）∥，内错角相等，两直线平行； 变式１　５０°；变式２　１７° ３．（１）２０；（２）∠ＧＥＤ－∠ＡＣＤ＝９０° 命题点３　定义、命题与定理 要点归纳　①条件　②结论 随堂练习　≠，＝，≠，平角为１８０°，≠ 命题点４　三角形的分类及边角关系 要点归纳　①大于　②＞　③小于　④＜　⑤１８０°　⑥三 角形内角和等于 １８０°　⑦３６０°　⑧三角形外角和等于 ３６０°　⑨∠２　⑩∠３　瑏瑡与它不相邻的两个内角之和 瑏瑢＞　瑏瑣＞　瑏瑤与它不相邻的任意一个内角　瑏瑥＞ 随堂练习　（１）①１＜ＡＥ＜５；②等腰三角形；变式　７或９； （２）３０°；（３）直角三角形；（４）９０°；（５）３５°；（６）８０° 命题点５　三角形中的重要线段 要点归纳　①垂线　②内部　③内部　④外部　⑤内部 ⑥中点　⑦１２　⑧ １ ２　⑨ １ ２　⑩２　瑏瑡∥　瑏瑢 １ ２　瑏瑣 １ ２ 瑏瑤１４　瑏瑥 １ ２　瑏瑦９０°＋ １ ２∠Ａ　瑏瑧 １ ２∠Ａ　瑏瑨９０°－ １ ２∠Ａ 随堂练习 １．（１）５５；（２）４０，２０；（３）２；（４）８；（５）１２，６；１；（６）４；（７）ＦＧ ∥ＡＣ，ＦＧ＝１２ＡＣ；６ ２．（１）１１５°；（２）２５°；（３）６５° 命题点６　等腰（边）三角形的性质与判定 要点归纳　①相等　②相等　③相等　④重合　⑤重合　 ⑥相等　⑦６０°　⑧１２１８０°－α　⑨４５°　⑩ １ ２（１８０°－α） 瑏瑡１８０°－２α　瑏瑢２ａ＋ｂ　瑏瑣２ｂ＋ａ　瑏瑤△ＯＤＣ　瑏瑥△ＡＣＥ 随堂练习 １．（１）２４；（２）３０；（３）４；（４）３；（５）５；（６）８ ２．（１）△ＯＢＤ，△ＯＥＣ；变式１　５；（２）５；（３）１８；变