4.9 相似三角形的性质与判定(含位似)-【一战成名新中考】2024辽宁中考数学·基础夯实练

基础夯实练·辽宁数学 命题点９　相似三角形的性质与判定（含位似 櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 毴 毴毴 毴 ） １．了解比例的基本性质、线段的比、成比例的线段；通过建筑、艺术上的实例了解黄金分割； ２．通过具体实例认识图形的相似，了解相似多边形和相似比； ３．掌握基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例； ４．了解相似三角形的判定定理：两角分别相等的两个三角形相似；两边成比例且夹角相等的两个三角 形相似；三边成比例的两个三角形相似； ５．了解相似三角形判定定理的证明； ６．了解相似三角形的性质定理：相似三角形对应线段的比等于相似比，面积比等于相似比的平方； ７．会利用图形的相似解决一些简单的实际问题； ８．了解图形的位似，知道利用位似可以将一个图形放大或缩小． 要点归纳 １．比例的性质 基本性质 如果 ａ ｂ＝ ｃ ｄ，那么ａｄ＝ｂｃ； 如果ａｄ＝ｂｃ（ａ，ｂ，ｃ，ｄ≠０），那么ａｂ＝①　　　　 等比性质 如果 ａ ｂ＝ ｃ ｄ＝…＝ ｍ ｎ（ｂ＋ｄ＋…＋ｎ≠０），那么 ａ＋ｃ＋…＋ｍ ｂ＋ｄ＋…＋ｎ＝ ａ ｂ 合比性质 如果 ａ ｂ＝ ｃ ｄ，那么 ａ＋ｂ ｂ ＝ ｃ＋ｄ ｄ； 如果 ａ ｂ＝ ｃ ｄ，那么 ａ－ｂ ｂ ＝ ｃ－ｄ ｄ 【拓展】点Ｃ把线段ＡＢ分成两条线段ＡＣ和ＢＣ，如果ＡＣＡＢ＝ ＢＣ ＡＣ，那么称线段ＡＢ被点Ｃ黄金分 割，点Ｃ叫作线段ＡＢ的黄金分割点，ＡＣ与ＡＢ的比叫作黄金比． ２．平行线分线段成比例 （１）定理：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例． 如图１，图２，已知ｌ３∥ｌ４∥ｌ５，则 ＡＤ ＢＤ＝②　　　　， ＡＤ ＡＢ＝③　　　　， ＡＢ ＢＤ＝④　　　　； 图１ 　　　 图２ （２）推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成 比例． ４８ 基础夯实练·辽宁数学 ３．相似三角形的性质 （１）相似三角形的对应角⑤　相等　，对应边⑥　成比例　； （２）相似三角形的对应高线、对应中线、对应角平分线的比都等于⑦　相似比　； （３）相似三角形的周长比等于⑧　相似比　，面积比等于⑨　相似比的平方　． ４．相似三角形的判定 （１）判定定理 判定 定理 平行于三角形一边 的直线和其他两边 相交，所构成的三角 形与原三角形相似 人教版独有 两角分别相等的两 个三角形相似 两边成比例且夹角 相等的两个三角形 相似 三边成比例的 两 个 三 角 形 相似 图示 （２）判定思路 ①有平行截线———用判定定理　　②有一对等角———找 另一对等角{该角两边对应成比例 ③有两边对应成比例———找 夹角相等{第三边对应成比例　　 ④直角三角形———找 一对锐角相等 两组直角边的比相等{ 斜边及一组直角边成比例 ⑤等腰三角形———找 顶角相等 一对底角相等{ 底和腰成比例 ５．相似三角形模型梳理 平行线型 　　　 共角型 　　　 　　　 　　　 注：若题中不能找到另一组等角，常考虑对应边成比例 ５８ 基础夯实练·辽宁数学 续表 直角三角形 斜边高线型 　　 　　 一线三等 角型 　　 　　 手拉手型 　　 　　 櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 毴 毴毴 毴 易错警示 “△１与△２相似”和“△１∽△２”的区别 当两个三角形用符号“∽”连接时，它们的对应顶点、对应边、对应角都是唯一确定的； 当用“△１与△２相似”表达时，两个三角形的顶点、边、角的对应关系不确定，此时需要 进行分类讨论，以免漏解． ６．相似多边形 （１）定义：如果两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，那么这两个多边形叫 作相似多边形．相似多边形对应边的比叫作相似比（或相似系数）． 易错警示：这里对应角相等与对应边成比例应同时满足，如矩形与正方形虽然对应角相 等但对应边不成比例，所以它们不是相似多边形． （２）性质： ①相似多边形的对应角⑩　相等　，对应边瑏瑡　成比例　； ②相似多边形的周长比等于瑏瑢　相似比　，面积比等于瑏瑣　相似比的平方　． ７．图形的位似 （１）位似的定义 如图３，图４，两个多边形的顶点Ａ与Ａ′，Ｂ与Ｂ′，Ｃ与Ｃ′，…，所在的直线都经过同一点， 并且 ＯＡ′ ＯＡ＝ ＯＢ′ ＯＢ＝ ＯＣ′ ＯＣ＝…，像这