4.10 锐角三角函数&4.11 锐角三角函数的应用-【一战成名新中考】2024河南中考数学·基础夯实练

基础夯实练·河南数学 命题点１０　 櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 毴 毴毴 毴 锐角三角函数 １．利用相似的直角三角形，探索并认识锐角三角函数（ｓｉｎＡ，ｃｏｓＡ，ｔａｎＡ），知道３０°，４５°，６０° 角的三角函数值； ２．会使用计算器由已知锐角求它的三角函数值，由已知三角函数值求它的对应锐角． 要点归纳 １．锐角三角函数 如图１，在Ｒｔ△ＡＢＣ中，∠Ｃ＝９０°，∠Ａ为Ｒｔ△ＡＢＣ的一个锐角，则有： 图１ ∠Ａ的正弦：ｓｉｎＡ＝∠Ａ的对边 斜边 ＝①　　　　　； ∠Ａ的余弦：ｃｏｓＡ＝∠Ａ的邻边 斜边 ＝②　　　　　； ∠Ａ的正切：ｔａｎＡ＝∠Ａ的对边∠Ａ的邻边 ＝③　　　　　． ２．特殊角的三角函数值 　　　　α 　三角函数　　　　　 ３０° ４５° ６０° ｓｉｎα １２ ④　　　　 ⑤　　　　 ｃｏｓα ⑥　　　　 槡２ ２ ⑦　　　　 ｔａｎα 槡３ ３ ⑧　１　 槡３ 　 ３．解直角三角形（如图１） （１）三角关系：∠Ａ＋∠Ｂ＝∠Ｃ＝⑨　９０°　； （２）三边关系：ａ２＋ｂ２＝ｃ２； （３）边角关系：ｓｉｎＡ＝ａｃ＝ｃｏｓＢ；ｃｏｓＡ＝ ｂ ｃ＝⑩　ｓｉｎＢ　；ｔａｎＡ＝瑏瑡　　　　　＝ １ ｔａｎＢ； （４）在Ｒｔ△ＡＢＣ中，五个量∠Ａ，∠Ｂ，ａ，ｂ，ｃ，知道两个（其中含一边），即可根据三边关系、三 角关系或边角关系公式求解出其他三个量． ０９ 书 基础夯实练·河南数学 随堂练习 在Ｒｔ△ＡＢＣ中，∠Ｃ＝９０°． （１）若ＡＣ＝３，ＢＣ＝４，则ｓｉｎＡ＝　　　　，ｃｏｓＡ＝　　　　，ｔａｎＡ＝　　　　； （２）若ｓｉｎ∠ＢＡＣ＝３５，将△ＡＢＣ三边都扩大３倍得到△Ａ′Ｂ′Ｃ′，则ｓｉｎ∠Ｂ′Ａ′Ｃ′＝　　　　； （３）若ｔａｎＢ＝２３，ＡＣ＝４，则ＢＣ的长为　　　　； （４）若ＡＢ＝１５，ｓｉｎＡ＝１３，则ＡＣ的长为　１０槡２　． 变式　如图，若△ＡＢＣ的三个顶点均在正方形网格的格点上，则ｔａｎＡ的值为　　　　． 变式题图 命题点１１　 櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 毴 毴毴 毴 锐角三角函数的应用 １．在平面上，运用方位角和距离刻画两个物体的相对位置； ２．能用锐角三角函数解直角三角形，能用相关知识解决一些简单的实际问题； ３．了解近似数，在解决实际问题中，能用计算器进行近似计算，并会按问题的要求进行简单 的近似计算． 要点归纳 １．用锐角三角函数解实际应用题的三种常见背景 概念 俯角、仰角 坡度（坡比） 方向角 图形 ｉ＝ｔａｎα＝ｈｌ 点Ａ在点Ｏ的①　北偏东３０°　方向 点Ｂ在点Ｏ的②　南偏东６０°　方向 点Ｃ在点Ｏ的③　西北（北偏西４５°）　 方向 １９ 基础夯实练·河南数学 ２．锐角三角函数实际应用的常考模型 共高型 　　　 　　　 共直角型 　　　 　　　 双垂直型 　　　 　　　 构造型 　　　 　　　 随堂练习 １．如图，旗杆ＡＢ的高为９ｍ，某一时刻，旗杆的影子ＢＣ长为１８ｍ，则ｔａｎ∠ＢＡＣ＝　２　． 第１题图 　　　　　 第２题图 ２．如图，已知∠ＡＣＤ＝３０°，∠ＡＤＢ＝６０°，ＣＤ＝１０米，求ＡＢ的高度．（结果保留根号） 解：∵∠ＡＣＤ＝３０°，∠ＡＤＢ＝６０°，∴∠ＣＡＤ＝３０°，∴ＡＤ＝ＣＤ＝１０米， ∵ｓｉｎ∠ＡＤＢ＝ＡＢＡＤ，∴ＡＢ＝ｓｉｎ６０°·ＡＤ＝ 槡３ ２×１０＝５槡３（米）， 答：ＡＢ的高度为５槡３米． ３．如图是一张交通警示牌，已知ＣＤ的高为（４槡３－５）米，ＡＢ＝７米，∠ＭＡＤ＝４５°，∠ＭＢＣ＝３０°， 求ＤＭ的高度． 第３题图 解：设ＤＭ＝ｘ米，∵ＣＤ＝（４槡３－５）米，∴ＣＭ＝ＣＤ＋ＤＭ＝ （４槡３－５＋ｘ）米， 在Ｒｔ△ＤＭＡ中，ＡＭ＝ ＤＭｔａｎ４５°＝ｘ（米）， ∵ＡＢ＝７米，∴ＭＢ＝ＭＡ＋ＡＢ＝（ｘ＋７）米， 在Ｒｔ△ＣＭＢ中，∠ＭＢＣ＝３０°，∴ＢＭ＝槡３ＣＭ，∴ｘ＋７＝槡３（４槡３－５＋ｘ）， 解得ｘ＝５，∴ＤＭ＝５米， 答：ＤＭ的高度为５米． ２９ 基础夯实练·河南数学 ４．如图，ＡＢ＝１６米，在Ｂ点处测得点Ｃ的仰角为４５°，点Ｄ的俯角为２２°，求ＣＤ的高．（结果保 留整数，参考数据：ｓｉｎ２２°≈０．３７，ｃｏｓ２２°≈０．９３，ｔａｎ２２°≈０．４０） 第４题图 解：如解图，过点Ｂ作ＢＥ⊥ＣＤ于点Ｅ，则∠ＣＢＥ＝４５°，∠ＥＢＤ＝