4.5 三角形中的重要线段-【一战成名新中考】2024河南中考数学·基础夯实练

基础夯实练·河南数学 ４．三角形的稳定性 三角形的稳定性在实际生活中有着广泛的应用，当三角形的三边确定时，它的形状和大小 就不会发生变化了．例如，桥梁、电视塔架底座、埃及金字塔都是以三角形形状构造的． 随堂练习 如图，在△ＡＢＣ中，点Ｄ为ＡＢ边上一点，ＤＥ∥ＢＣ交ＡＣ于点Ｅ． （１）若ＡＤ＝３，ＤＥ＝２． ①则ＡＥ的取值范围为　１＜ＡＥ＜５　； ②若ＡＥ长为奇数，则△ＡＤＥ的形状为　等腰三角形　； 变式　 若ＡＥ长为偶数，则△ＡＤＥ的周长为　７或９　； （２）若∠Ａ∶∠Ｂ∶∠Ｃ＝１∶２∶３，则∠Ａ＝　３０°　； （３）若∠Ａ＋∠Ｂ＝∠Ｃ，则△ＡＢＣ的形状是　直角三角形　； （４）若∠ＢＤＥ＝１３０°，∠Ａ＝４０°，则∠ＡＣＢ的度数为　９０°　； （５）连接ＢＥ，若ＢＥ平分∠ＡＢＣ，∠Ａ＝６８°，∠Ｃ＝４２°，则∠ＢＥＤ的度数为　３５°　； （６）若把△ＡＢＣ沿直线ＤＥ折叠，使点Ａ落在边ＢＣ上的点Ｆ处，若∠Ｂ＝５０°，则∠ＢＤＦ的度数 为　８０°　． 命题点５　 櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 毴 毴毴 毴 三角形中的重要线段 １．理解三角形中线、高线、角平分线等概念； ２．了解三角形重心的概念； ３．探索并证明三角形的中位线定理； ４．了解三角形的内心． 要点归纳 １．高线：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作①　垂线　，顶点和垂足之间的线段． （１）如图１，ＡＤ为△ＡＢＣ的边ＢＣ上的高线，则有： ①∠ＡＤＢ＝∠ＡＤＣ＝９０°；②Ｓ△ＡＢＤ∶Ｓ△ＡＣＤ＝ＢＤ∶ＣＤ； （２）锐角三角形的三条高在其②　内部　；直角三角形的两条高线是其直角边，斜边上的高在其 ③　内部　；钝角三角形两条较短边上的高在其④　外部　，较长边上的高在其⑤　内部　． 图１ 　　　 图２ 　　　 图３ 　　　　 图４ ４７ 基础夯实练·河南数学 ２．中线：在三角形中，连接一个顶点与它对边⑥　中点　的线段． （１）如图２，ＡＤ，ＢＥ分别为△ＡＢＣ的边ＢＣ，ＡＣ上的中线，则有：ＢＤ＝ＣＤ＝⑦　　　　　ＢＣ，ＡＥ＝ ＣＥ＝１２ＡＣ；Ｓ△ＡＢＤ＝Ｓ△ＡＣＤ＝⑧　　　　　Ｓ△ＡＢＣ，Ｓ△ＢＥＣ＝Ｓ△ＢＥＡ＝⑨　　　　　Ｓ△ＡＢＣ； （２）重心：三角形的三条中线的交点．如图２，点Ｏ为△ＡＢＣ的重心，则有：ＡＯＯＤ＝ ＢＯ ＯＥ＝⑩　２　． ３．中位线：连接三角形两条边中点的线段，如图３，ＤＥ为△ＡＢＣ的中位线，则有： （１）位置关系：ＤＥ瑏瑡　　　　　ＢＣ； （２）数量关系：ＤＥ＝瑏瑢　　　　　　ＢＣ； （３）△ＡＤＥ的周长等于瑏瑣　　　　　△ＡＢＣ的周长； （４）△ＡＤＥ的面积等于瑏瑤　　　　　△ＡＢＣ的面积． ４．角平分线：在三角形中，一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的 线段． （１）如图４，ＡＤ，ＢＥ分别为△ＡＢＣ的角平分线，则有： ①∠ＢＡＤ＝∠ＣＡＤ＝瑏瑥　　　　　∠ＢＡＣ，∠ＣＢＥ＝∠ＡＢＥ＝１２∠ＡＢＣ； ②Ｓ△ＡＢＤ∶Ｓ△ＡＣＤ＝ＢＤ∶ＣＤ＝ＡＢ∶ＡＣ，Ｓ△ＢＡＥ∶Ｓ△ＢＣＥ＝ＡＥ∶ＣＥ＝ＢＡ∶ＢＣ； （２）内心：三角形三条角平分线的交点．如图４，点Ｏ为△ＡＢＣ的内心，则点Ｏ到△ＡＢＣ三条 边的距离相等． （３）与角平分线有关的结论 条件 在△ＡＢＣ中，ＢＰ，ＣＰ分别 平分∠ＡＢＣ，∠ＡＣＢ 点Ｄ在ＢＣ的延长线上，ＢＰ， ＣＰ分别平分∠ＡＢＣ，∠ＡＣＤ 点 Ｄ，Ｅ分别在 ＡＢ，ＡＣ 的延长线上，ＢＰ，ＣＰ分 别平分∠ＤＢＣ，∠ＥＣＢ 图形 角度关系 ∠ＢＰＣ＝瑏瑦　　　　　 ∠ＢＰＣ＝瑏瑧　　　　　 ∠ＢＰＣ＝瑏瑨　　　　　 线段关系 点Ｐ到线段ＡＢ，ＡＣ，ＢＣ的距离相等 ５７ 基础夯实练·河南数学 随堂练习 １．如图，在△ＡＢＣ中，ＣＤ，ＣＥ，ＣＦ分别是ＡＢ边上的高线、角平分线、中线，点Ｇ在边ＢＣ上，连接ＦＧ． （１）若∠Ｂ＝３５°，则∠ＢＣＤ＝　５５　°； （２）若∠Ａ＝７０°，∠Ｂ＝３０°，则∠ＢＣＥ＝　４０　°，∠ＤＣＥ＝　２０　°； （３）若ＢＣ＝８，Ｓ△ＢＣＥ＝８，则点Ｅ到ＡＣ的距离为　２　； （４）若ＡＣ＝４，△ＢＣＦ的周长比△ＡＣＦ的周长多４，则ＢＣ的长为　８　； （５）若ＡＢ＝６，ＣＤ＝４，则Ｓ△ＡＢＣ＝　１２　，Ｓ△ＢＣＦ＝　６　； 若ＢＦ＝６ＥＦ，则Ｓ△ＣＥＦ＝　１　； （６）若ＦＧ垂直平分ＢＣ，ＢＦ＝４，则ＦＣ＝　４　； （７）若点Ｇ是ＢＣ的中点，则ＦＧ与ＡＣ的位置关系为　ＦＧ∥ＡＣ　，数量关系为　　　　　　　； 若Ｓ△ＡＣＦ＝６，则Ｓ△ＡＣＧ＝　６　． 第１题图 　　　　 图①