5.3 矩形的性质与判定-【一战成名新中考】2024河南中考数学·分层作业本

分层作业本·河南数学 第 五 章 四 边 形 命题点３　矩形的性质与判定（必考） 　　　　　　　　　　　　　　　　基础达标练 考向１　矩形的判定 １．（２０２３开封模拟）下列条件中能判定一个平行 四边形为矩形的是 （　Ｄ　） ①对角线互相平分　　　　　②对角线互相垂直 ③对角线相等　　　　　④一组邻边相等 ⑤一个角为直角 Ａ．①④ Ｂ．②④ Ｃ．①② Ｄ．③⑤ ２．（２０２２聊城）要检验一个四边形的桌面是否为 矩形，可行的测量方案是 （　Ｃ　） Ａ．测量两条对角线是否相等 Ｂ．度量两个角是否是９０° Ｃ．测量两条对角线的交点到四个顶点的距离 是否相等 Ｄ．测量两组对边是否分别相等 ３．（优质原创）如图，在ＡＢＣＤ中，ＢＥ平分 ∠ＡＢＣ，ＣＥ平分∠ＢＣＤ，ＢＦ∥ＣＥ，ＣＦ∥ＢＥ． 求证：四边形ＢＥＣＦ是矩形． 第３题图 证明：∵ＢＦ∥ＣＥ，ＣＦ∥ＢＥ， ∴四边形 ＢＥＣＦ是平行四 边形， ∵ ＢＥ 平分 ∠ＡＢＣ，ＣＥ 平 分∠ＢＣＤ， ∴∠ＥＢＣ＝１２∠ＡＢＣ，∠ＥＣＢ＝ １ ２∠ＢＣＤ， ∵四边形ＡＢＣＤ是平行四边形，∴ＡＢ∥ＣＤ， ∴∠ＡＢＣ＋∠ＢＣＤ＝１８０°， ∴∠ＥＢＣ＋∠ＥＣＢ＝１２（∠ＡＢＣ＋∠ＢＣＤ）＝ １ ２× １８０°＝９０°， ∴∠ＢＥＣ＝１８０°－（∠ＥＢＣ＋∠ＥＣＢ）＝１８０°－９０° ＝９０°，∴四边形ＢＥＣＦ是矩形． 考向２　矩形的性质 ４．（２０２２安徽）两个矩形的位置如图所示，若 ∠１＝α，则∠２＝ （　Ｃ　） Ａ．α－９０° Ｂ．α－４５° Ｃ．１８０°－α Ｄ．２７０°－α 第４题图 　　　　 第５题图 ５．如图，在矩形 ＡＢＣＤ中，ＢＣ＝ｎ，∠ＢＡＣ＝α，则 ＯＤ的长为 （　Ａ　） Ａ． ｎ２ｓｉｎα Ｂ． ｎ２ｃｏｓα Ｃ． ｎｃｏｓα Ｄ． ｎｓｉｎα ６．（２０２３杭州）如图，矩形ＡＢＣＤ的对角线ＡＣ，ＢＤ 相交于点Ｏ．若∠ＡＯＢ＝６０°，则ＡＢＢＣ＝ （　Ｄ　） Ａ．１２ Ｂ． 槡３－１ ２ Ｃ． 槡３ ２ Ｄ． 槡３ ３ 第６题图 　　 第７题图 ７．（２０２３南阳模拟）如图，Ｏ是矩形 ＡＢＣＤ的对 角线 ＡＣ的中点，Ｅ为 ＡＤ的中点．若 ＡＢ＝４， ＢＣ＝６，则△ＢＯＥ的周长为 （　Ｃ　） Ａ．１０ Ｂ．８＋槡１３　Ｃ．７＋槡１３　 Ｄ．８ ８．（优质原创）如图，在矩形ＡＢＣＤ中，ＡＢ＝５，ＢＣ＝ ９，点Ｍ为矩形内一点，过点Ｍ作ＭＥ⊥ＣＤ于 点Ｅ，ＭＦ⊥ＡＤ于点Ｆ，已知ＭＢ＝ＭＥ，且ＭＦ＝ ２，则四边形ＡＢＭＦ与四边形 ＭＢＣＥ的周长之 比为 （　Ａ　） 第８题图 Ａ．８１１ Ｂ． １７ ２２ Ｃ． ９ １１ Ｄ． １９                                                                     ２２ ９７ 分层作业本·河南数学 第 五 章 四 边 形 ９．（２０２２山西）如图，在矩形 ＡＢＣＤ中，ＡＣ是对 角线． （１）实践与操作：利用尺规作线段 ＡＣ的垂直 平分线，垂足为点Ｏ，交边ＡＤ于点Ｅ，交边ＢＣ 于点Ｆ（要求：尺规作图并保留作图痕迹，不写 作法，标明字母）． （２）猜想与证明：试猜想线段ＡＥ与ＣＦ的数量 关系，并加以证明． 第９题图 解：（１）如解图，点Ｏ及直线ＥＦ即为所求； （２）ＡＥ＝ＣＦ． 证明：∵四边形ＡＢＣＤ是矩形，∴ＡＤ∥ＢＣ， ∴∠ＥＡＯ＝∠ＦＣＯ，∠ＡＥＯ＝∠ＣＦＯ， ∵ＥＦ是ＡＣ的垂直平分线，∴ＡＯ＝ＣＯ， 在△ＡＯＥ和△ＣＯＦ中， ∠ＡＥＯ＝∠ＣＦＯ， ∠ＥＡＯ＝∠ＦＣＯ， ＡＯ＝ＣＯ { ， ∴△ＡＯＥ≌△ＣＯＦ（ＡＡＳ），∴ＡＥ＝ＣＦ． １０．（优质原创）如图，在矩形 ＡＢＣＤ中，Ｅ是 ＢＣ 边上的点，ＡＥ＝ＢＣ，ＤＦ⊥ＡＥ，垂足为 Ｆ，连 接ＤＥ． （１）求证：△ＡＢＥ≌△ＤＦＡ； （２）若ＡＢ＝６，ｔａｎ∠ＡＥＤ＝３，求矩形ＡＢＣＤ的 面积． 第１０题图 强化提升练 １１．（多解法）如图，将一矩形纸片 ＡＢＣＤ沿着虚 线ＥＦ剪成两块全等的四边形纸片，根据图 中标示的长度与角度，则剪得的四边形纸片 中较长的边ＢＦ的长是 （　Ｃ　） Ａ．３ Ｂ．５ Ｃ．７ Ｄ．９ 第１１题图 １２．（多解法）（２０２３信阳模拟）如图，在矩形ＡＢ ＣＤ内有两点Ｅ，Ｆ，ＡＥ⊥ＥＦ，ＣＦ⊥ＥＦ，垂足分 别为Ｅ，Ｆ，若ＡＥ＝１，ＥＦ＝４，ＣＦ＝２，则ＢＤ＝ （　Ｄ　） Ａ．１０３ Ｂ．６ Ｃ． ５ ３ Ｄ．５ 第１２题图 １３．（多解法）（优质原创）如图，在矩形 ＡＢＣＤ 中，ＡＤ＝槡２，ＡＢ＝１，点 Ｅ是矩形内部一点， ∠ＡＥＤ＝９０°，ＥＡ＝ＥＤ，连接ＢＥ并延长