4.10 锐角三角函数&4.11 锐角三角函数的应用-【一战成名新中考】2024河北中考数学·基础夯实练

基础夯实练·河北数学 命题点１０　锐角三角函数（必考 櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 毴 毴毴 毴 ） １．利用相似的直角三角形，探索并认识锐角三角函数（ｓｉｎＡ，ｃｏｓＡ，ｔａｎＡ），知道３０°，４５°，６０°角的三角函 数值； ２．会使用计算器由已知锐角求它的三角函数值，由已知三角函数值求它的对应锐角． 要点归纳 １．锐角三角函数 如图１，在Ｒｔ△ＡＢＣ中，∠Ｃ＝９０°，∠Ａ为Ｒｔ△ＡＢＣ的一个锐角，则有： 图１ ∠Ａ的正弦：ｓｉｎＡ＝∠Ａ的对边 斜边 ＝①　　　　； ∠Ａ的余弦：ｃｏｓＡ＝∠Ａ的邻边 斜边 ＝②　　　　； ∠Ａ的正切：ｔａｎＡ＝∠Ａ的对边∠Ａ的邻边 ＝③　　　　． ２．特殊角的三角函数值 　　　　α 　三角函数　　　　　 ３０° ４５° ６０° ｓｉｎα １２ ④　　　　 ⑤　　　　 ｃｏｓα ⑥　　　　 槡２ ２ ⑦　　　　 ｔａｎα 槡３ ３ ⑧　　　　 槡３ 　 ３．解直角三角形（如图１） （１）三角关系：∠Ａ＋∠Ｂ＝∠Ｃ＝⑨　９０°　； （２）三边关系：ａ２＋ｂ２＝ｃ２； （３）边角关系：ｓｉｎＡ＝ａｃ＝ｃｏｓＢ；ｃｏｓＡ＝ ｂ ｃ＝⑩　ｓｉｎＢ　；ｔａｎＡ＝瑏瑡　　　　＝ １ ｔａｎＢ； （４）在Ｒｔ△ＡＢＣ中，五个量∠Ａ，∠Ｂ，ａ，ｂ，ｃ，知道两个（其中含一边），即可根据三边关系、三 角关系或边角关系公式求解出其他三个量． １９ 基础夯实练·河北数学 随堂练习 在Ｒｔ△ＡＢＣ中，∠Ｃ＝９０°． （１）若ＡＣ＝３，ＢＣ＝４，则ｓｉｎＡ＝　　　　；ｃｏｓＡ＝　　　　；ｔａｎＡ＝　　　　； （２）若ｓｉｎ∠ＢＡＣ＝３５，将△ＡＢＣ三边都扩大３倍得到△Ａ′Ｂ′Ｃ′，则ｓｉｎ∠Ｂ′Ａ′Ｃ′＝　　　　； 变式题图 （３）若ｔａｎＢ＝２３，ＡＣ＝４，则ＢＣ的长为　　　　； （４）若ＡＢ＝１５，ｓｉｎＡ＝１３，则ＡＣ的长为　　　　． 变式　如图，若△ＡＢＣ的三个顶点均在正方形网格的格点上， 则ｔａｎＡ的值为　　　　． 命题点１１　锐角三角函数的应用（必考 櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 毴 毴毴 毴 ） １．在平面上，运用方位角和距离刻画两个物体的相对位置； ２．能用锐角三角函数解直角三角形，能用相关知识解决一些简单的实际问题； ３．了解近似数，在解决实际问题中，能用计算器进行近似计算，并会按问题的要求进行简单的近似计算． 要点归纳 １．用锐角三角函数解实际应用题的三种常见背景 概念 俯角、仰角 坡度（坡比） 方向角 图形 ｉ＝ｔａｎα＝ｈｌ 　 点Ａ在点 Ｏ的①　北偏 东３０°　方向 点Ｂ在点 Ｏ的②　南偏 东６０°　方向 点Ｃ在点 Ｏ的③　西北 （北偏西４５°）　方向 ２．锐角三角函数实际应用的常考模型 共高型 　 　 ２９ 基础夯实练·河北数学 续表 共直角型 　 　 双垂直型 　 　 构造型 　 　 随堂练习 １．如图，小明从Ａ处出发沿北偏东６０°方向行走至Ｂ处，又沿北偏西２０°方向行走至Ｃ处，此时 需把方向调整到与出发时一致，则方向的调整应是 （Ａ ） 第１题图 Ａ．右转８０°　　　　Ｂ．左转８０°　　　　Ｃ．右转１００°　　　　Ｄ．左转１００° ２．如图是一张交通警示牌，已知ＣＤ的高为（４槡３－５）米，ＡＢ＝７米，∠ＭＡＤ＝４５°，∠ＭＢＣ＝３０°， 求ＤＭ的高度． 第２题图 解：设ＤＭ＝ｘ米， ∵ＣＤ＝（４槡３－５）米， ∴ＣＭ＝ＣＤ＋ＤＭ＝（４槡３－５＋ｘ）米， 在Ｒｔ△ＤＭＡ中，ＡＭ＝ ＤＭｔａｎ４５°＝ｘ（米）， ∵ＡＢ＝７米， ∴ＭＢ＝ＭＡ＋ＡＢ＝（ｘ＋７）米， 在Ｒｔ△ＣＭＢ中，∠ＭＢＣ＝３０°， ∴ＢＭ＝槡３ＣＭ，∴ｘ＋７＝槡３（４槡３－５＋ｘ）， 解得ｘ＝５，∴ＤＭ＝５米， 答：ＤＭ的高度为５米． ３９ ２．（１）７；变式１　４；变式２　１１或７；（２）４．５；（３）３或６ ３．（１）５０；（２）５５；（３）６５°４８′；（４）３ 命题点２　相交线与平行线 要点归纳　①∠３　②∠８　③∠８　④∠５　⑤∠８　⑥∠７ ⑦∠８　⑧９０　⑨无数　⑩有且只有一条　瑏瑡垂线段 瑏瑢＞　瑏瑣＞　瑏瑤垂线段　瑏瑥ＡＯ　瑏瑦中点　瑏瑧垂直于 瑏瑨相等　瑏瑩＝　瑐瑠＝　瑐瑡相等　瑐瑢有且只有一条　瑐瑣平行 瑐瑤相等　瑐瑥相等　瑐瑦互补　瑐瑧处处相等　 随堂练习　１．（１）１